Question

Штучний супутник рухається навколо Землі з першою космічною швидкістю. Довести, що період його звернення збігається з періодом уявного математичного маятника, довжина якого дорівнює радіусу Землі.

Answer 1

Объяснение: Период качания (Тм) математического маятника определяется выражением: Тм = 2π√(L/g)

здесь L - длина математического маятника;

g - ускорение свободного падения.

Если длина математического маятника будет равна радиусу Земли (R), то период качания будет равен Тм = 2π√(R/g) ------------ (1)

Поскольку искусственный спутник Земли (ИСЗ) обращается вокруг Земли с первой космической скоростью, то это означает, что высота полета спутника мала. В первом приближении её можно считать равной нулю. Ускорение свободного падения, действующее на спутник, является центростремительным ускорением, а величина центростремительного ускорения определяется выражением, а = U²/R.

Следовательно, можно записать, что g = U²/R ------------- (2)

здесь U - орбитальная скорость ИСЗ; R - радиус Земли.

Но с другой стороны орбитальная скорость определяется выражением: U = 2πR/Т ------------------------- (3)

здесь Т - период обращения ИСЗ.

Квадрат скорости будет равен U² = 4π²R²/Т² ----------------- (4)

Квадрат скорости из (4) подставим в (2), имеем: g = (4π²R²/Т²)/R.

После сокращения на R имеем: g = 4π²R/Т² ----------------- (5)

Из выражения (5) Т² = 4π²R/g. Отсюда Т = 2π√(R/g), данное выражение в точности совпадает с выражением (1), что и требовалось доказать.

Answer 2

Штучний супутник та його рух

Штучний супутник, рухаючись навколо Землі з першою космічною швидкістю, може бути розглянутий як уявний математичний маятник, довжина якого дорівнює радіусу Землі.

Доведення збігу періодів

Період обертання штучного супутника: Період обертання штучного супутника навколо Землі можна визначити за формулою: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \], де \( T \) - період обертання, \( r \) - радіус орбіти супутника, \( G \) - гравітаційна стала, \( M \) - маса Землі.

Період уявного математичного маятника: Період математичного маятника визначається за формулою: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \], де \( T \) - період коливання, \( l \) - довжина маятника, \( g \) - прискорення вільного падіння.

Збіг періодів

Доведемо, що період обертання штучного супутника збігається з періодом уявного математичного маятника, довжина якого дорівнює радіусу Землі.

За даними з формул та враховуючи, що радіус орбіти супутника \( r \) дорівнює довжині маятника \( l \), можна побачити, що обидва періоди мають спільну формулу \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), де \( l \) в одному випадку - радіус орбіти супутника, а в іншому - довжина маятника.

Таким чином, період обертання штучного супутника з першою космічною швидкістю збігається з періодом уявного математичного маятника, довжина якого дорівнює радіусу Землі.