Question

30 баллов! Спутник Сатурна Энцелад обращается вокруг планеты за 1.37 суток на расстоянии 2.38*10^5 км от центра Сатурна. Радиус орбиты Луны а1=384400 км период обращения Луны вокруг Земли Т1=27.3 сут. Во сколько раз масса Земли меньше массы Сатурна? Ответ может не совпадать с табличными данными.

Answer 1

Ответ:    Масса Земли меньше массы Сатурна в ≈ 94,2 раза.

Объяснение:    Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны  а1 = 3,844*10^5 км

Период обращения Энцелада T2 = 1,37 суток  

Радиус орбиты Энцелада  а2 = 2,38*10^5 км

Масса Земли  - Мз = М1

Масса Сатурна  - Мс = М2

Во сколько раз масса Земли меньше массы Сатурна Мс/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них,  и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³,  здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центральных массивных тел;

М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел;

m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел;     а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

 Так как обычно массы спутников  малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что  М2/М1 = Мс/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =

27,3² * (2,38*10^5)³/1,37² * (3,844*10^5)³ ≈ 94,2

Answer 2

Спутник Сатурна, Энцелад, обращается вокруг планеты за 1.37 суток на расстоянии 2.38 * 10^5 км от центра Сатурна. Радиус орбиты Луны вокруг Земли составляет 384400 км, а период обращения Луны вокруг Земли равен 27.3 суток. Мы должны вычислить, во сколько раз масса Земли меньше массы Сатурна.

Для решения этой задачи, нам понадобятся законы Кеплера и формула для периода обращения спутника вокруг планеты.

Закон Кеплера:

Закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения спутника вокруг планеты пропорционален кубу большой полуоси орбиты спутника. Мы можем использовать этот закон для вычисления массы Сатурна.

Формула для периода обращения спутника:

Формула для периода обращения спутника вокруг планеты выглядит следующим образом: T^2 = (4 * pi^2 * a^3) / (G * M), где T - период обращения спутника, a - большая полуось орбиты спутника, G - гравитационная постоянная, M - масса планеты.

Вычисление массы Сатурна:

Мы можем использовать формулу для периода обращения спутника, чтобы выразить массу Сатурна: M = (4 * pi^2 * a^3) / (G * T^2), где M - масса Сатурна, a - расстояние спутника от центра Сатурна, G - гравитационная постоянная, T - период обращения спутника.

Вычисление массы Земли:

Мы можем использовать ту же формулу для периода обращения Луны вокруг Земли, чтобы выразить массу Земли: M = (4 * pi^2 * a^3) / (G * T^2), где M - масса Земли, a - расстояние Луны от центра Земли, G - гравитационная постоянная, T - период обращения Луны.

Вычисление отношения масс Земли и Сатурна:

Чтобы найти отношение масс Земли и Сатурна, мы можем поделить массу Земли на массу Сатурна: M_Земли / M_Сатурна = [(4 * pi^2 * a_Земли^3) / (G * T_Земли^2)] / [(4 * pi^2 * a_Сатурна^3) / (G * T_Сатурна^2)].

Подстановка значений:

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить отношение масс Земли и Сатурна.

Расстояние Луны от центра Земли, a_Земли = 384400 км. Период обращения Луны вокруг Земли, T_Земли = 27.3 сут. Расстояние спутника от центра Сатурна, a_Сатурна = 2.38 * 10^5 км. Период обращения спутника вокруг Сатурна, T_Сатурна = 1.37 сут.

G - гравитационная постоянная, которая составляет примерно 6.67430 * 10^-11 м^3 / (кг * с^2).

Вычисление:

Вычислим отношение масс Земли и Сатурна, используя формулу и подставив значения: M_Земли / M_Сатурна = [(4 * pi^2 * (384400)^3) / (6.67430 * 10^-11 * (27.3)^2)] / [(4 * pi^2 * (2.38 * 10^5)^3) / (6.67430 * 10^-11 * (1.37)^2)].

После вычислений, получим, что масса Земли меньше массы Сатурна примерно в 1.9 * 10^-4 раза.

Пожалуйста, обратите внимание, что ответ может не совпадать с табличными данными, так как использовались приближенные значения и упрощения в вычислениях.