Question

Определите массу Урана (в Массах Земли) путем сравнения системы «Уран - Миранда» с системой «Земля - Луна», если Миранда отстоит от Урана на расстоянии 129,4 тыс. км и обращается с периодом 1,41 суток. Массы Луны и Миранды считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет ПОДРОБНО ПОЖАЛУЙСТА ​

Answer 1

Ответ:  Масса Урана равна  14,3 масс Земли.

Объяснение: Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 400

Период обращения Миранды T2 =1,41 суток  

Радиус орбиты Миранды а2 = 129400 км = 1,294*10^5 к м

Масса Урана  - Му

Масса Земли  - Мз

Найти во сколько раз масса Земли меньше массы Урана  Му/Мз - ?

  Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них,  и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³,  здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных тел;   m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел;  а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

  Так как обычно массы спутников  малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что  Му/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =

27,3² * (1,294•10^5)³/1,41² * 384 400 ³ ≈ 14,3

Answer 2

Для определения массы Урана сравниваем системы «Уран - Миранда» и «Земля - Луна». Первым шагом можно воспользоваться третьим законом Кеплера, который гласит:

(T^2 / R^3) = (4π^2 / GM),

где T - период обращения, R - среднее расстояние между телами, G - гравитационная постоянная, M - масса главного тела.

Для системы «Земля - Луна»:

T1 = 27.3 дней = 27.3 * 24 * 60 * 60 секунд, R1 = 384,400 км.

Для системы «Уран - Миранда»:

T2 = 1.41 суток = 1.41 * 24 * 60 * 60 секунд, R2 = 129,400 км.

Сначала найдем отношение периодов:

(T2 / T1) = (1.41 * 24 * 60 * 60) / (27.3 * 24 * 60 * 60) = 0.0052.

Теперь найдем отношение расстояний:

(R2 / R1) = (129,400) / (384,400) = 0.336.

С помощью третьего закона Кеплера можно записать следующее отношение масс:

(M2 / M1) = (T2^2 / T1^2) * (R2^3 / R1^3) = (0.0052^2) * (0.336^3).

Вычислив это выражение, мы получим отношение масс Урана (M2) к массе Земли (M1).