Question

Определите массу Урана (в Массах Земли) путем сравцения системы «Уран - Оберон» с системой «Земля - Луна», если Оберон отстоит от Урана на расстоянии 583,5 тыс. км и обращается с периодом 13,5 суток. Массы Луны и Оберона считайте пренебрежимо малыми по сравнению с массами планет.

Answer 1

Ответ:   Масса Урана равна 14,3 масс Земли

Объяснение:   Дано:

Период обращения Луны Т1 = 27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 384 400 = 3,844*10^5 км

Период обращения Оберона T2 =13,5 суток  

Радиус орбиты Оберона а2 = 583500 км = 5,835*10^5 км

Масса Урана  - Му

Масса Земли  - Мз

Найти во сколько раз масса Урана  больше массы Земли  Му/Мз - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них,  и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³,  здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел;  а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

 Так как обычно массы спутников  малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что  Му/Мз = Т1²* а2³/Т2²*а1³ =

27,3² * (5,835*10^5)³/13,5² * (3,844*10^5) ³ ≈ 14,3

Answer 2

Из закона Кеплера следует, что:

(T_u/T_o)^2 = (R_u/R_o)^3

где T_u - период обращения Урана вокруг своей оси, T_o - период обращения Оберона вокруг Урана, R_u - радиус Урана, R_o - расстояние между Ураном и Обероном.

Из задачи известно, что T_o = 13,5 дней = 1166400 секунд, R_o = 583500 км + R_u (радиус Урана). Масса Земли равна M_З = 5,97*10^24 кг.

Таким образом, получаем:

(T_u/1166400)^2 = (R_u/(R_u + 583500))^3

(T_u/1166400)^2 = (1 - 583500/R_o)^3

(T_u/1166400)^2 = (1 - 583500/(R_u + 583500))^3

(T_u/1166400)^2 = (1 - 583500/(1 + 583500/R_u))^3

(T_u/1166400)^2 = (1 - 583500/(1 + R_u/R_o))^3

(T_u/1166400)^2 = (1 - 583500/(1 + M))^3

где M = R_u/R_o - отношение радиусов Урана и орбиты Оберона вокруг него.

Решая это уравнение относительно M и зная, что M << 1, можем получить:

M ≈ (T_u/1166400)^(2/3) - 1

Теперь можем воспользоваться известным отношением массы Урана к массе Земли:

M_u/M_З = (R_u/R_З)^3

R_З - радиус Земли.

Известно, что R_З = 6371 км, а R_u = (R_o + 583500) км. Далее, можно оценить массу Урана:

M_u/M_З ≈ [(R_o + 583500)/6371]^3

M_u ≈ M_З * [(R_o + 583500)/6371]^3

Подставляя выражение для M через T_u, получаем:

M_u ≈ M_З * [(1 + 1166400*T_u^2/6371*(T_u/1166400)^(2/3))^(-1/3) + 583500/6371]^3

Таким образом, при известном периоде обращения Урана вокруг своей оси мы можем оценить его массу относительно массы Земли по сравнению с известной системой «Земля - Луна».