Question

Как это сделать ааааааааааааааа Приведенный квадратный трехчлен f(x) имеет 2 различных корня. Может ли так оказаться, что уравнение f(f(x)) = 0 имеет 3 различных корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 — 7 различных корней?

Answer 1

Ответ:

Ответ: Нет.

Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f(x) существует.

Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.

Объяснение:

Answer 2

Да, это может произойти, и для этого существует конкретный способ. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, как это работает.

Предположим, что у нас есть квадратный трехчлен f(x) с двумя различными корнями, например:

f(x) = (x - a)(x - b),

где a и b - различные числа.

Теперь давайте посмотрим на уравнение f(f(x)) = 0. Для этого подставим f(x) вместо x в выражение f(x):

f(f(x)) = f((x - a)(x - b)).

Теперь раскроем скобки:

f(f(x)) = ((x - a)(x - b) - a)((x - a)(x - b) - b).

После раскрытия скобок у нас будет полином четвертой степени. Это уравнение может иметь 4 корня, но они не обязательно различны.

Теперь давайте рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0:

f(f(f(x))) = f(f((x - a)(x - b))).

Снова раскрываем скобки и получаем полином шестой степени:

f(f(f(x))) = f(((x - a)(x - b) - a)((x - a)(x - b) - b)).

Это уравнение может иметь до 6 корней, но они также не обязательно различны.

Таким образом, уравнение f(f(x)) = 0 может иметь 4 корня, а уравнение f(f(f(x))) = 0 может иметь до 6 корней, но не обязательно 7 различных корней. Это демонстрирует, что существует конкретный способ, который соответствует вашему описанию.