Question

Разделите с остатком многочлен

Answer 1

Разделение многочлена с остатком

Разделение многочлена с остатком является одной из операций в алгебре, которая позволяет разделить один многочлен на другой с получением остатка. Результатом такого деления будет частное и остаток.

Для разделения многочлена с остатком необходимо выполнить следующие шаги:

1. Расположить многочлены в порядке убывания степеней переменной. 2. Разделить первый член делимого многочлена на первый член делителя. Результат будет первым членом частного. 3. Умножить делитель на полученный первый член частного и вычесть полученное произведение из делимого многочлена. 4. Повторить шаги 2 и 3 для оставшихся членов делимого многочлена, пока степень оставшегося многочлена не будет меньше степени делителя. 5. Оставшийся многочлен после выполнения всех шагов будет являться остатком.

Например, рассмотрим многочлен P(x) = x^6 + 2x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 и делитель D(x) = x + 1. Мы хотим разделить P(x) на D(x) с остатком.

1. Располагаем многочлены в порядке убывания степеней переменной: P(x) = x^6 + 2x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 D(x) = x + 1

2. Делим первый член делимого многочлена на первый член делителя: x^6 / x = x^5

3. Умножаем делитель на полученный первый член частного и вычитаем полученное произведение из делимого многочлена: (x + 1) * x^5 = x^6 + x^5 P(x) - (x^6 + x^5) = 2x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 - x^6 - x^5 = -x^6 + x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45

4. Повторяем шаги 2 и 3 для оставшихся членов делимого многочлена: (-x^6 + x^5) / x = -x^5 (x + 1) * -x^5 = -x^6 - x^5 (-x^6 + x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45) - (-x^6 - x^5) = -21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 + x^6 + x^5 = x^6 - 20x^3 - 21x^4 + x^5 + 71x^2 + 114x + 45

5. Оставшийся многочлен x^6 - 20x^3 - 21x^4 + x^5 + 71x^2 + 114x + 45 является остатком.

Таким образом, результатом разделения многочлена P(x) = x^6 + 2x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 на D(x) = x + 1 с остатком является частное x^5 - x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 и остаток x^6 - 20x^3 - 21x^4 + x^5 + 71x^2 + 114x + 45.

Примечания

- В данном примере использованы многочлены P(x) = x^6 + 2x^5 - 21x^4 - 20x^3 + 71x^2 + 114x + 45 и D(x) = x + 1. - Результат разделения многочлена с остатком может быть представлен в виде частного и остатка. - Для выполнения разделения многочлена с остатком необходимо следовать определенным шагам, описанным выше.