Question

Спешите, вставляя пропущенные буквы, раскрывая скобки и расставляя недостающие знаки препинания.Какими частям речи являются выделенные слова? Заранее спасибо огромное!

Answer 1

1 Выпив не поморщившись противное лекарство, он задержал меня на лавке под полатями.
Выпив - что сделав? - деепричастие, 
Выпив не поморщившись противное лекарство - деепричастный оборот.
2 Корней молчал, взглядывая из-под не переставая шевелившихся черных бровей то на хозяина, то на Агашу.
взглядывая - что делая? - деепричастие
шевелившихся - каких? - причастие
взглядывая из-под не переставая шевелившихся черных бровей то на хозяина, то на Агашу - деепричастный оборот. 
Хотя тут есть и причастие, но его можно выкинуть:
взглядывая из-под черных бровей то на хозяина, то на Агашу
Поэтому оборот деепричастный, а не причастный.
3 Касьян сохранял упорное молчание и на мои вопросы отвечал отрывисто и нехотя.
Здесь нет ни причастия, ни деепричастия, ни оборотов. 
Отрывисто и нехотя - наречия, отвечают на вопрос как?
4 Не медля в дальней стороне, спеши сюда.
Не медля - чего не делая? - деепричастие.
Не медля в дальней стороне - деепричастный оборот.
5 Маленькие осинки побеждают даже траву и вырастают, несмотря ни на что.