Question

НенавидЕвший ложь учитель. Около строящЕйся купальни. ПОЯЕМУ БУКВА Е???

Answer 1

Ненавидевшей - ненавидЕть(исключение).
строящейся - что делающЕй?

Answer 2

Ненавид-Е-вш-ий - прич. Перед суффиксом -ВШ- пишется та же буква, что и перед -ТЬ глагола неопределённой формы, от которого образовалось причастие. 
также
строящейся

Answer 3

По-видимому, вы имеете в виду загадку или задачу, в которой нужно найти общую особенность между словами "ненавидевший", "ложь", "учитель" и "строящейся". И эта общая особенность связана с буквой "Е".

Одна из возможных ответов на эту загадку может быть следующей: в каждом из этих слов есть буква "Е", которая стоит на третьей позиции от конца слова.

- В слове "ненавидевший" буква "Е" стоит на третьей позиции от конца слова. - В слове "ложь" буква "Е" стоит на третьей позиции от конца слова. - В слове "учитель" буква "Е" стоит на третьей позиции от конца слова. - В слове "строящейся" буква "Е" стоит на третьей позиции от конца слова.

Таким образом, буква "Е" является общей особенностью между этими словами.