Question

Какой глагол русского языка имеет тот же корень, что и глагольная форма в выражении "Бог весть"

Answer 1

Это  устаревший глагол  ВЕДАЕТ, т. е. знает. 

Answer 2

Глагол русского языка, имеющий тот же корень, что и глагольная форма в выражении "Бог весть", - это глагол "знать". В данном выражении "Бог весть" означает "Бог знает", то есть "только Бог знает", "только Бог знает, что будет".