Question

Выделите грамматическую основу: Я листал страницы неслышно и сидел не шевелясь, боясь лишним движением напомнить о себе.

Answer 1

Я - подлежащее, листал - сказуемое, сидел - сказуемое ( однородные сказуемые).
Напомнить - сказуемое ( второе предложение. односоставное).
Боясь - в данном случае не обособленное деепричастие. Так же, как и "не шевелясь".

Думаю, что так. 

Answer 2

Грамматическая основа предложения:

Я листал страницы неслышно и сидел не шевелясь, боясь лишним движением напомнить о себе.

Основа предложения - "Я листал страницы неслышно и сидел не шевелясь, боясь".