Question

Найти все решения системы: 2х+y-3z=3 4x+2y-6z=6

Answer 1

Второе уравнение делим на два
2x+y-3z = 3
y=3-2x+3z

первое ур-ие y=3+3z+2x

они равны => от минус бексонечности до плюс бесконечности 

Answer 2

Для решения данной системы линейных уравнений можно использовать метод Гаусса или метод Крамера. Я расскажу оба метода и покажу, как найти все решения системы.

Метод Гаусса

Шаг 1: Запишем систему уравнений в матричной форме:

2x + y - 3z = 3
4x + 2y - 6z = 6

Шаг 2: Составим расширенную матрицу системы, добавив столбец свободных членов:

[2  1  -3  |  3]
[4  2  -6  |  6]

Шаг 3: Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк:

- Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2:

[2  1  -3  |  3]
[0  0   0  |  0]

Шаг 4: Запишем систему уравнений, соответствующую полученной матрице:

2x + y - 3z = 3
0 = 0

Шаг 5: Из второго уравнения следует, что переменная z является свободной, то есть может принимать любое значение. Обозначим её как t.

z = t

Шаг 6: Подставим полученное значение z в первое уравнение и решим его относительно x:

2x + y - 3t = 3
2x + y = 3t + 3

Шаг 7: Решим полученное уравнение относительно y:

y = 3t + 3 - 2x

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

x = x
y = 3t + 3 - 2x
z = t

где x - произвольное число, t - произвольный параметр.

Метод Крамера

Шаг 1: Найдем определитель матрицы коэффициентов системы:

D = |2  1  -3|
    |4  2  -6|
    |0  0   0|

Вычислим этот определитель:

D = 0 - 0 - 0 - (-3)(4) + (-3)(1) - 2(2)(-6) = 0

Шаг 2: Найдем определители матрицы, полученных заменой столбцов матрицы коэффициентов на столбец свободных членов:

Dx = |3   1  -3|
     |6   2  -6|
     |0   0   0|

Dy = |2   3  -3|
     |4   6  -6|
     |0   0   0|

Dz = |2   1   3|
     |4   2   6|
     |0   0   0|

Вычислим эти определители:

Dx = 0 - 0 - 0 - (-3)(4) + (-3)(1) - 2(2)(-6) = 0
Dy = 0 - 0 - 0 - (-3)(4) + 3(1) - 2(2)(-6) = 0
Dz = 0 - 0 - 0 - 3(4) + 3(2) - 2(1)(-6) = 0

Шаг 3: Найдем значения переменных, используя соотношения:

x = Dx / D = 0 / 0 (недопустимое деление на ноль)
y = Dy / D = 0 / 0 (недопустимое деление на ноль)
z = Dz / D = 0 / 0 (недопустимое деление на ноль)

Таким образом, метод Крамера не применим в данном случае, так как определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

Вывод

Система имеет бесконечное множество решений, которые можно выразить через произвольные значения x и t:

x = x
y = 3t + 3 - 2x
z = t

где x - произвольное число, t - произвольный параметр.