Question

Докажите что1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/n(n+1)=1-1/(n+1)

Answer 1

применим меиод математической индукции

при n=1 имеем

1/1*2=1-1/2 тождество выполняется

Пусть тождество верно при n=m

1/1*2+1/2*3+...+1/m(m+1)=1-1/(m+1)

покажем что при этом оно выполнятся при n=m+1

1/1*2+1/2*3+...+1/m(m+1)+1/(m+1)(m+2)=

первые m слагаемых равны 1-1/(m+1)

=1-1/(m+1)+1/(m+1)(m+2)=1-(m+2-1)/(m+1)(m+2)=1-1/(m+2)

т.о. мы показали что тождество выполнятся. при n=m+1

теорема доказана

 

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу. Вот подробное решение:

Доказать, что 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/n(n+1) = 1 - 1/(n+1) для всех натуральных n.

Для этого мы воспользуемся методом математической индукции.

База индукции: при n = 1 имеем 1/1*2 = 1 - 1/(1+1), что верно.

Шаг индукции: пусть утверждение верно для некоторого n = k, то есть

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/k(k+1) = 1 - 1/(k+1)

Докажем, что оно верно и для n = k+1, то есть

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/(k+1)(k+2) = 1 - 1/(k+2)

Для этого добавим к обеим частям равенства слагаемое 1/(k+1)(k+2) и получим

1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/k(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = 1 - 1/(k+1) + 1/(k+1)(k+2)

Преобразуем правую часть, приведя дроби к общему знаменателю:

1 - 1/(k+1) + 1/(k+1)(k+2) = (k+2 - (k+1) + 1)/(k+1)(k+2) = 2/(k+1)(k+2) = 1 - 1/(k+2)

Таким образом, мы получили требуемое равенство для n = k+1.

Значит, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.

Вы можете найти другие способы решения этой задачи на этих сайтах: [Discrete Math Problem Find a formula for (1 / (1 · 2)) + (1 / (2 · 3 ...](https://math.stackexchange.com/questions/1743040/discrete-math-problem-find-a-formula-for-1-1-2-1-2-3-1-3), [Example 3 - Prove 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 .. + 1/n(n + 1) = 1/n+1 - Teachoo](https://www.teachoo.com/2271/590/Example-3---Prove-1-1.2---1-2.3---1-3.4-..---1-n%28n---1%29--1-n-1/category/Examples/), [1/1+1/2+1/3+1/4+……+1/n=？怎么个解法？ - 知乎](https://www.zhihu.com/question/46263998).

Надеюсь, это было полезно.