Question

Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет (2X+X/2)/2 = (5/4)X, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

Answer 1

ошибка кроется в составлении примера, оно должно быть таким: (2х+х)/2=(3х)/2, т. к. 2х - второй конверт у которого меньше в 2 раза денег за первый, а х - первый конверт.

Answer 2

Ошибка игроков,по условию задачи,в том,что они думают при обмене получить среднее количество денег(что могло быть только если они договорились между собой сложить содержимое пакетов и разделить поровну),фактически,один из игроков увеличит свою сумму в 2 раза,а другой уменьшит свою в 2 раза.Значит обмен может быть выгоден только одному игроку,а не сразу двоим

Answer 3

В рассуждениях игроков кроется ошибка в том, что они предполагают равновероятное распределение суммы в чужом конверте (2x или x/2), однако это предположение неверно.

Представим, что первый игрок открыл свой конверт и увидел сумму x. Вероятность того, что во втором конверте находится 2x, равна 1/2, так как оба конверта идентичны и любая сумма равновероятна. Вероятность того, что во втором конверте находится x/2, также равна 1/2.

Если первый игрок решит поменять свой конверт, то он будет иметь сумму x/2 с вероятностью 1/2 и 2x с вероятностью 1/2. Средняя сумма его денег будет равна ((x/2) + 2x)/2 = (2.5x)/2 = 1.25x.

Однако, если первый игрок решит не менять свой конверт, то он останется со суммой x.

Таким образом, ошибка игроков заключается в том, что они считают равновероятными две возможные суммы во втором конверте (2x и x/2), но это не соответствует действительности. Правильным решением для игроков будет не менять свои конверты, так как с вероятностью 1/2 во втором конверте будет большая сумма, а с вероятностью 1/2 - меньшая сумма.