Question

Sin 46° обчислити наближено за допомогою диференціала ​

Answer 1

У всіх випадках користуємося формулою
f(x₀+ Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)*Δx
тепер треба просто знайти "хороші" х₀ та Δх
в першому випадку
х₀ = 45 °; Δх = 1° = π/180
ось тепер обчислюємо
sin 46° = sin (45° + 1°).
f'(x) = (sin x)' = cos x
sin 46° ≈ sin 45° + cos(45°) * π/180 = 1/√2 + (1/√2) * π/180 =
= (1 + π/180) / √2 ≈ (1 + 3.14/180) / 1.41 ≈ 0.7216 ≈ 0.72
у другому випадку х₀ = 216; Δх = 71
f'(∛x) = 1/3*∛x²
f(∛216) = 6
f'(∛216) = 1/3*∛216²
далі за формулою обчислюємо
у третьому випадку х₀ = 0,5; Δх = 0,01
f'(arccos x) = -1 /√(1-x²)
ну і далі за формулою

Answer 2

Щоб обчислити наближено значення sin 46° за допомогою диференціала, використаємо диференціювання функції синуса та значення синуса в більш простому куті. Формула диференціювання для синуса виглядає наступним чином:

\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]

Тепер, для обчислення sin 46° використаємо близьке значення синуса для кута, більшого або меншого за 46°, для якого вже відоме значення синуса.

Одним з кутів, для якого відоме значення синуса, є 45°. Sin 45° = 0.7071.

Тепер, використовуючи диференціал, можемо знайти приблизне значення sin 46°. Для цього використовуємо наступний метод:

\[ \sin 46° \approx \sin 45° + \cos 45° \cdot \Delta x \]

де \( \Delta x \) - різниця між кутами, тобто \( \Delta x = 46° - 45° = 1° \).

Підставимо в формулу:

\[ \sin 46° \approx 0.7071 + \cos 45° \cdot \frac{\pi}{180} \]

\( \cos 45° \) також відомий і дорівнює \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).

\[ \sin 46° \approx 0.7071 + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{180} \]

Тепер можна виконати обчислення та отримати наближене значення sin 46°.