Question

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 30 а сумма квадратов первого и второго членов этой же прогрессии рави 116. Найдите первый член этой прогрессии, если известно, что ее пятий член делится нацело на 13​

Answer 1

Ответ: а₁= -4 или а₁=4

Решение на фото.

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен а, а разность прогрессии равна d. Тогда сумма первых трех членов будет равна: S3 = (а + (а + d) + (а + 2d)) = 3а + 3d = 30 ----(1)

А сумма квадратов первого и второго членов прогрессии будет равна: S2 = (а^2 + (а + d)^2) = а^2 + а^2 + 2ад + d^2 = 2а^2 + 2ад + d^2 = 116 ----(2)

Так как а пятым членом прогрессии делится нацело на 13, то можно представить а как 13к, где k – некоторое натуральное число:

а = 13к ----(3)

Подставим (3) в (1):

3(13к) + 3d = 30 39к + 3d = 30 3d = 30 - 39к

Подставим (3) в (2):

2(13к)^2 + 2(13к)d + d^2 = 116 2·169к^2 + 2·169кд + d^2 = 116 338к^2 + 338кд + d^2 = 116

Так как к и d являются натуральными числами, и сумма трех членов равная 30 и сумма квадратов равная 116 являются конкретными числами, то можно перебрать все значения к и d, что удовлетворяют этим условиям и проверить, делится ли пятый член нацело на 13.

Вот несколько подходящих комбинаций: k = 1, d = 6: 3d = 3·6 = 18 2·169·1^2 + 2·169·1·6 + 6^2 = 116 → 338 + 2028 + 36 = 116 → 2402 = 116 2402 не равно 116, поэтому это комбинация не подходит.

k = 2, d = 3: 3d = 3·3 = 9 2·169·2^2 + 2·169·2·3 + 3^2 = 116 → 676 + 2028 + 9 = 116 → 2713 = 116 2713 не равно 116, поэтому это комбинация не подходит.

k = 3, d = 0: 3d = 3·0 = 0 2·169·3^2 + 2·169·3·0 + 0^2 = 116 → 3·(338·3 + 338·0) = 116 → 1014 = 116 1014 не равно 116, поэтому это комбинация не подходит.

Таким образом, нет такого значения k и d, что удовлетворяют условию, поэтому первый член этой прогрессии не существует.