Question

50 баллов. Доказать, что любая монотонная на R функция непрерывна всюду , кроме не более чем счётного множества, причем в точке этого множества существуют пределы функции слева и справа.

Answer 1

Докажем сначала вторую часть теоремы. Не ограничивая общности будем считать, что функция монотонно неубывает (для невозрастающей доказательство аналогичное). Возьмем точку $x_0$. Так как функция монотонна на R, то для $\forall x, x\ \textless \ x_0 \Rightarrow f(x)\leq f(x_0)$. Пусть y - точная верхняя грань $\{f(x)| x\ \textless \ x_0\}$. Для $\forall \varepsilon \ \textgreater \ 0 \Rightarrow y-\varepsilon$ не является верхней гранью данного множества. Поэтому $\exists x'\ \textless \ x_0: y-\varepsilon\ \textless \ f(x')$.
$\forall x,\, x'\ \textless \ x\ \textless \ x_0 \Rightarrow y-\varepsilon\ \textless \ f(x')\leq f(x)\leq y\ \textless \ y+\varepsilon\Rightarrow |f(x)-y|\ \textless \ \varepsilon$
Если ввести $\delta=\delta(\varepsilon)=x_0-x'$, то получится как раз определение предела слева по Коши.
Аналогично доказывается существование правого предела.
Из существования левого и правого предела следует, что могут существовать лишь точки разрыва 1-го рода.
Если в точке x функция терпит разрыв, то f(x+0)>f(x-0). Так как f(x+0) и f(x-0) имеют вещественные значения, то существует некоторое рациональное число, лежащее между двумя данными. Назовем его h(x). Сопоставим каждой точке разрыва функции f некоторое рациональное число h(x) по правилу, описанному выше. Если $x_1< x_2$ - две точки разрыва, то $f(x_1+0)\leq f(x_2-0)\Rightarrow h(x_1)\ \textless \ h(x_2)$. Отсюда разным точкам разрыва соответствуют различные h(x). Рациональных чисел счетное число, поэтому h(x) - не более чем счетно.

Answer 2

Для начала, давайте определим, что такое монотонная функция. Монотонная функция - это функция, которая либо всегда возрастает, либо всегда убывает на всей области определения.

Теперь предположим, что у нас есть монотонная функция f(x) на множестве действительных чисел R. Давайте рассмотрим случай, когда функция f(x) монотонно возрастает (случай убывания аналогичен по аналогии).

Теперь, предположим, что f(x) не является непрерывной в некоторой точке c. Это означает, что существует такое число ε > 0, что для любого δ > 0 найдется такое число x, что |x - c| < δ, но |f(x) - f(c)| ≥ ε.

Теперь давайте рассмотрим множество точек, в которых f(x) не непрерывна. Обозначим это множество как D. Поскольку f(x) монотонно возрастает, то для любого элемента d из множества D существует предел f(d-) (предел слева) и предел f(d+) (предел справа).

Теперь докажем, что множество D не может быть более чем счетным. Предположим, что D содержит более чем счетное количество точек. Тогда существует последовательность точек {d_n}, которая сходится к точке c, принадлежащей множеству D. Но тогда пределы f(d_n-) и f(d_n+) должны существовать и равняться f(c), так как f(x) монотонно возрастает. Это противоречит определению множества D.

Таким образом, мы доказали, что любая монотонная функция на R непрерывна всюду, кроме не