Question

(x+y-1)+(y-x+2)y'=0 решить дифф уравнение

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение, оформление не соблюдалось.

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения требуется решить уравнение с разделяющимися переменными, так как уравнение можно переписать в виде, где все y-зависимые члены находятся на одной стороне уравнения, а все x-зависимые члены на другой стороне. Вот шаги для решения:

1. Перепишем исходное уравнение: (x + y - 1) + (y - x + 2)y' = 0

2. Выразим производную y': (y - x + 2)y' = 1 - x - y

3. Выразим y': y' = (1 - x - y) / (y - x + 2)

4. Разделим переменные, переместив y-зависимые члены на одну сторону, а x-зависимые на другую: (y - x + 2) dy = (1 - x - y) dx

5. Проинтегрируем обе стороны уравнения: ∫(y - x + 2) dy = ∫(1 - x - y) dx

6. Вычислим интегралы: ∫y dy - ∫x dy + ∫2 dy = ∫(1 - x) dx - ∫y dx

7. Интегрируем и упростим: (y^2 / 2) - (x * y) + 2y = (x - x^2 / 2) - (y^2 / 2)

8. Перегруппируем члены: y^2 + x * y - 2y = x - x^2 / 2 + y^2 / 2

9. Приведем подобные члены на одну сторону уравнения: y^2 + x * y - y^2 / 2 - 2y - x + x^2 / 2 = 0

10. Упростим: x * y - y^2 / 2 - 2y - x + x^2 / 2 = 0

11. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Решим его. Для этого представим уравнение в виде: y^2 + (x - 2) * y - x + x^2 / 2 = 0

12. Воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения: y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = (x - 2), и c = (-x + x^2 / 2):

scssCopy code
y = (-(x - 2) ± √((x - 2)^2 - 4 * 1 * (-x + x^2 / 2))) / 2 * 1

13. Упростим выражение под корнем: y = (-(x - 2) ± √(x^2 - 4x + 4 - 4x + 2x^2)) / 2

scssCopy code
y = (-(x - 2) ± √(3x^2 - 4x + 4)) / 2

14. Таким образом, получаем два возможных решения: a) y = (2 - x + √(3x^2 - 4x + 4)) / 2 б) y = (2 - x - √(3x^2 - 4x + 4)) / 2

Таким образом, у нас есть два общих решения для данного дифференциального уравнения, которые задаются вышеуказанными выражениями для y в зависимости от x.