Question

Почему sin(a)=sin(180-a)?

Answer 1

Синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус может изменяться от 0 до 1 и от 1 до 0. На рисунке я попробовал представить это в окружности, разделенной от 0° до 180°. Катет обозначен красным карандашом, гипотенуза синим. Изменение отношения катета к гипотенузе хорошо видно. От 0° до 90° катет возрастает и становится равным гипотенузе, в этот момент он становится равным гипотенузе, то есть 1. Затем величина капета убывает до нулевой отметки и в области  180° sin принимает опять нулевое значение. Наверно, как то так.  

Answer 2

Формула sin(a) = sin(180° - a) является следствием свойства синуса, которое называется "дополнительным углом". Это свойство связано с геометрическими особенностями треугольников и единичной окружности.

Дополнительный угол — это угол, который в сумме с данным углом составляет 180° (прямой угол). Если рассмотреть угол a, то его дополнительный угол будет (180° - a).

Дополнительный угол находится на противоположной стороне от вертикальной прямой (оси ординат) на единичной окружности. При этом значение синуса угла на окружности зависит только от угла между осью абсцисс и радиусом, проведенным к точке на окружности.

Теперь обратим внимание на следующее:

1. Синус угла a (sin(a)) равен ординате точки, где радиус окружности с углом a пересекает ее.
2. Синус дополнительного угла (180° - a) равен ординате точки на противоположной стороне от вертикальной прямой (на противоположной стороне окружности).

Так как окружность симметрична относительно вертикальной прямой (ось ординат), ордината на противоположной стороне будет иметь такое же значение, но с отрицательным знаком. Это означает, что sin(a) = -sin(180° - a).

Если рассмотреть это равенство без учета знаков, то получим sin(a) = sin(180° - a).

Пример: Пусть a = 30°. Тогда дополнительный угол равен (180° - 30°) = 150°.

sin(30°) = 0.5 (угол 30° находится на половине пути от 0° до 90° на единичной окружности). sin(150°) = 0.5 (угол 150° находится на половине пути от 90° до 180° на единичной окружности).

Таким образом, sin(30°) = sin(150°) = 0.5.