Question

Независимые испытания аппаратуры повторяются до тех пор, пока не произойдет отказ. Вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна p. Найти математическое ожидание и дисперсию числа безотказных испытаний.

Answer 1

Ответ:

Самый умный, да? Виталя?)))) :D

Объяснение:

Answer 2

Давайте обозначим случайную величину X как число испытаний до первого отказа. Так как вероятность отказа от испытания к испытанию не меняется и равна p, то вероятность успеха (без отказа) в одном испытании равна q = 1 - p.

X может принимать значения 1, 2, 3 и так далее. Значение X = k означает, что первые (k-1) испытаний были успешными, а k-е испытание закончилось отказом.

Математическое ожидание (среднее значение) X можно найти, используя формулу:

E(X) = Σ [k * P(X = k)], где сумма берется по всем возможным значениям k.

Вероятность того, что первое испытание закончится успехом, равна q. Вероятность того, что первое и второе испытания закончится успехами, а третье - отказом, равна q * q * p. И так далее.

Таким образом, математическое ожидание X:

E(X) = 1 * q + 2 * q^2 * p + 3 * q^3 * p + ...

E(X) = q * (1 + 2 * q * p + 3 * q^2 * p + ...)

Здесь мы имеем бесконечную геометрическую прогрессию, и сумма этой прогрессии равна:

E(X) = q * (1 / (1 - q * p)^2)

Теперь, чтобы найти дисперсию, мы можем использовать формулу:

Var(X) = E(X^2) - E(X)^2

Где E(X^2) - математическое ожидание квадрата случайной величины X. Вычисление E(X^2) аналогично вычислению E(X), но вместо k используется k^2 в вероятностях.

E(X^2) = 1^2 * q + 2^2 * q^2 * p + 3^2 * q^3 * p + ...

E(X^2) = q * (1^2 + 2^2 * q * p + 3^2 * q^2 * p + ...)

E(X^2) = q * (1 / (1 - q * p)^3)

Теперь мы можем подставить E(X) и E(X^2) в формулу для дисперсии:

Var(X) = E(X^2) - E(X)^2

Var(X) = q * (1 / (1 - q * p)^3) - [q * (1 / (1 - q * p)^2)]^2

Это выражение даст вам дисперсию числа безотказных испытаний.