Question

Про треугольник ABC известно, что AB=6, AC=9, BC=8. На его сторонах выбраны точки A1, A2, B1, B2, C1, C2, как показано на рисунке. Перпендикуляры, восстановленные в точках B1 и C2 к сторонам, на которых они лежат, пересекаются в точке X. Аналогично определяются точки Y и Z. Известно, что перпендикуляры, опущенные из X на BC, из Y на AC и из Z на AB пересекаются в одной точке. Чему равна длина отрезка BA2, если AC2=1, AB1=2, CB2=5, CA1=4, BC1=2?

Answer 1

Ответ:

1 3/8

Объяснение:

Не знаю почему, но Сириус говорит что верно.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства подобных треугольников и теоремы о перпендикулярах, опущенных из вершин треугольника.

1. Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из X на BC, из Y на AC и из Z на AB, как O.

2. Так как перпендикуляры, опущенные из X, Y и Z, пересекаются в одной точке O, а также углы XBA2 и YCA2 прямые (перпендикуляры), то по теореме о трёх перпендикулярах можем заключить, что точка A2 лежит на прямой XO.

3. Также, аналогичными рассуждениями можно показать, что точки B2 и C2 лежат на прямых YO и ZO соответственно.

4. Обратим внимание на треугольники XBA2 и OCA2. Они подобны, так как у них общий угол X и противоположные углы A2XB и A2OC равны, так как это углы, образованные пересекающимися прямыми и параллельными сторонами. Таким образом, мы можем записать следующее соотношение длин сторон:

   (XA2 / OA2) = (BA2 / CA2)

   Где XA2 - длина отрезка XA2, OA2 - длина отрезка OA2, BA2 - длина отрезка BA2, CA2 = 1 (по условию).

5. Заметим также, что треугольники XBA2 и OCA1 подобны по тем же причинам. Таким образом, можно записать:

   (XA2 / OA1) = (BA2 / CA1)

6. Из соотношений (4) и (5) получаем:

   (XA2 / OA2) = (XA2 / OA1)

   Откуда следует, что OA2 = OA1, так как XA2 ≠ 0.

7. Аналогично, используя подобие треугольников XCB2 и OBA1, можно получить:

   OB2 = OB1

8. Теперь вернемся к треугольнику XBA2. Из пунктов (6) и (7) следует, что:

   OA1 = OB1

9. Возвращаясь к треугольнику XCB2 и используя аналогичные рассуждения, получаем:

   OC2 = OA2

10. Таким образом, мы видим, что длины отрезков OA1 и OC2 равны.

11. Теперь обратим внимание на треугольник A1OB1. Угол A1OB1 прямой, так как это угол, образованный пересекающимися прямыми, и угол BOA2 также прямой (по условию). Таким образом, треугольник A1OB1 подобен треугольнику XBA2.

12. Из подобия треугольников A1OB1 и XBA2 следует:

(BA2 / OA1) = (OB1 / A1B1)

Где A1B1 = 2 (по условию).

13. Таким образом, получаем:

(BA2 / OA1) = (OB1 / 2)

Из пункта (8) мы знаем, что OA1 = OB1, поэтому:

(BA2 / OA1) = 1/2

Отсюда следует, что:

BA2 = 0.5 * OA1

Но из пункта (10) мы знаем, что OA1 = OC2, поэтому:

BA2 = 0.5 * OC2

Но из пункта (9) мы знаем, что OC2 = OA2, так что:

BA2 = 0.5 * OA2

14. Из пункта (4) мы знаем, что:

(XA2 / OA2) = (BA2 / 1)

Отсюда следует, что:

BA2 = XA2

15. Таким образом, из пунктов (13) и (14) мы получаем:

BA2 = 0.5 * XA2

16. Осталось выразить длину XA2 через известные длины отрезков. Обратим внимание на треугольник XBA1. Мы видим, что он подобен треугольнику ACB (по общему углу и прямому углу), так что можем записать:

(XA1 / AC) = (BA1 / BC)

Где XA1 = XA2 + A2A1 (по конструкции), BA1 = 6 (по условию), AC = 9 (по условию), BC = 8 (по условию).

17. Подставляя известные значения, получаем:

(XA2 + A2A1) / 9 = 6 / 8

Отсюда можно выразить A2A1:

A2A1 = 9 * 6 / 8 - XA2

A2A1 = 27/4 - XA2

18. Подставляя это значение обратно в выражение для XA1, получаем:

XA1 = XA2 + 27/4 - XA2

XA1 = 27/4

19. Из пункта (16) мы знаем, что:

BA2 = 0.5 * XA2

Таким образом, если BA2 = 27/4, то:

0.5