Question

Як доказати теорему Піфагора?

Answer 1

Ответ:

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших сторін (катетів). Тобто, якщо a і b - катети, а c - гіпотенуза, то a 2 + b 2 = c 2 a² + b² = c².

Answer 2

Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Щоб довести цю теорему, ми можемо скористатися геометричним підходом або використовувати алгебраїчні методи. Я розгляну обидва підходи.

Геометричний підхід:

Нехай у нас є прямокутний трикутник з катетами \(a\) і \(b\), та гіпотенузою \(c\). Зображення цього трикутника може бути у вигляді квадрата, побудованого на гіпотенузі та двох квадратів, побудованих на катетах.

1. Спочатку ми будуємо квадрат зі стороною \(c\). 2. Потім ми будуємо квадрат із стороною \(a\), в одній з його сторін знаходиться відрізок довжини \(a\), який відповідає одному з катетів. 3. Аналогічно, ми будуємо квадрат із стороною \(b\), в одній з його сторін знаходиться відрізок довжини \(b\), який відповідає іншому катетові.

В результаті ми отримаємо чотири фігури: три квадрати та прямокутний трикутник. Зараз ми можемо перейти до доведення теореми, порівнюючи площі цих фігур.

Площа квадрата зі стороною \(c\) дорівнює \(c^2\), площа квадрата зі стороною \(a\) дорівнює \(a^2\), а площа квадрата зі стороною \(b\) дорівнює \(b^2\). Площа прямокутного трикутника дорівнює \(\frac{1}{2}ab\).

Тепер ми можемо порівняти ці площі:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Отже, теорема Піфагора доведена.

Алгебраїчний підхід:

Ми можемо використовувати властивості алгебри для доведення теореми Піфагора.

Розглянемо прямокутний трикутник з катетами \(a\) і \(b\) та гіпотенузою \(c\). Ми можемо використовувати визначення відстані між точками на площині:

\[c = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2}\]

Розкривши квадрати та спростивши вираз, отримаємо:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Що і є теоремою Піфагора.

Обирайте той метод, який вам здається зручнішим або який відповідає вашому рівню зручності з геометрії або алгебри.