Question

Коля написал каждое из чисел от 1 до 9 в клетках таблицы 3х3. Только четыре из этих чисел можно увидеть ( по углам подряд 1, 2, 3, 4). Коля отметил, что для числа 5 сумма чисел во всех соседних клетках равна 13 ( соседние клетки имеют общую сторону). Он отметил, что это выполняптся и для числа 6. Какое число записал Коля в центре?

Answer 1

8 число....................

Answer 2

Пусть $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ - числа, записанные Колей в таблице 3х3. Также пусть $x$ - число, записанное в центре таблицы. Так как четыре из девяти чисел уже известны (они находятся в углах), нам нужно найти $x$.

Так как числа 5 и 6 удовлетворяют условию суммы чисел в соседних клетках, мы можем записать следующие уравнения:

\begin{align*} a+d+e+f &= 13 \ d+e+f+g &= 13 \ e+f+g+h &= 13 \ f+g+h+i &= 13 \end{align*}

Так как каждое из чисел от 1 до 9 встречается в таблице ровно один раз, суммируя все уравнения, мы получим:

$3(a+b+c+d+e+f+g+h+i) + x = 1 + 2 + 3 + \ldots + 9 = 45$

Также, так как число $x$ находится в центре таблицы, оно имеет четыре соседних клетки (с числами $d,e,f,g$), и сумма чисел в этих клетках равна $13+13=26$. Следовательно, мы можем записать:

$d+e+f+g+x=26$

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно $x$. Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$a - g = 0$

Аналогично, вычитая третье уравнение из второго и четвертого уравнения из третьего, получаем:

$b - h = c - i$

$d - f = e - x$

Из первого уравнения мы можем заключить, что $a = g$. Из второго уравнения мы можем заключить, что $b - c = i - h$. Заметим также, что из-за того, что числа $1, 2, 3, 4$ стоят в углах, мы имеем $a+c+g+i=10$ и $b+d+f+h=20$. Таким образом, мы можем записать:

$a = g$

$b - c = i - h$

$2a + 2c + b + d + f + h + x = 30$

$b + d + f + h = 20$

Выразим $a$, $c$, $d$, $f$, $h$ через $b$, $i$ и $x$:

$a = g$

$c = b - i + h$

$d = \frac{x+f-13}{2}$

$f = x-d+13$

$h = i - b + c$

Подставим эти выражения в уравнения 3 и 4,