Question

Решение задачи коши y''-y'=9xe^(2x)ответ должен быть ​

Answer 1

Посмотрите предложенное решение для ДУ без начальных условий.

Answer 2

Для решения данной задачи коши, необходимо найти функцию y(x), удовлетворяющую заданному дифференциальному уравнению y'' - y' = 9xe^(2x) и начальным условиям y(x₀) = y₀ и y'(x₀) = y'₀.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения Для начала рассмотрим однородное уравнение y'' - y' = 0. Его характеристическое уравнение будет иметь вид r^2 - r = 0, где r - неизвестная.

Решая это уравнение, получаем два корня r₁ = 0 и r₂ = 1. Общее решение однородного уравнения имеет вид y_h(x) = c₁e^0x + c₂e^1x = c₁ + c₂e^x, где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, воспользуемся методом вариации произвольной постоянной. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A(x)e^(2x), где A(x) - функция, которую нужно найти.

Вычислим производные частного решения: y_p'(x) = A'(x)e^(2x) + 2A(x)e^(2x) y_p''(x) = A''(x)e^(2x) + 4A'(x)e^(2x) + 2A'(x)e^(2x) + 2A(x)e^(2x) = A''(x)e^(2x) + 6A'(x)e^(2x) + 2A(x)e^(2x)

Подставим найденные значения в исходное уравнение: A''(x)e^(2x) + 6A'(x)e^(2x) + 2A(x)e^(2x) - (A'(x)e^(2x) + 2A(x)e^(2x)) = 9xe^(2x)

Упростим: A''(x)e^(2x) + 5A'(x)e^(2x) = 9xe^(2x)

Разделим уравнение на e^(2x): A''(x) + 5A'(x) = 9x

Решим это уравнение методом неопределенных коэффициентов, предположив, что A(x) - полином первой степени: A(x) = ax + b. Подставим предположенное решение в уравнение: A''(x) + 5A'(x) = 9x (a''x + b'') + 5(a'x + b') = 9x (a