Question

Помогите решить пожалуйста Используя метод неопределенных коэффициентов,найти неопределенный интеграл: интеграл dx/(x-5)(x+1)

Answer 1

Всё решение смотрите на фото

Answer 2

Конечно! Для решения этого интеграла с помощью метода неопределенных коэффициентов разложим дробь на простейшие:

1/(x-5)(x+1) = A/(x-5) + B/(x+1)

Чтобы найти значения коэффициентов A и B, сложим две дроби с общим знаменателем:

1 = A(x+1) + B(x-5)

Теперь раскроем скобки:

1 = (A+B)x + (A-5B)

Таким образом, мы получили систему уравнений:

A + B = 0 A - 5B = 1

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения получаем:

A = -B

Подставим это значение во второе уравнение:

-B - 5B = 1 -6B = 1 B = -1/6

Теперь найдем значение A:

A = -B = -(-1/6) = 1/6

Итак, коэффициенты равны A = 1/6 и B = -1/6. Подставим их в разложение:

1/(x-5)(x+1) = 1/6 * 1/(x-5) - 1/6 * 1/(x+1)

Теперь можем найти неопределенный интеграл:

∫(dx/(x-5)(x+1)) = ∫(1/6 * 1/(x-5) - 1/6 * 1/(x+1)) dx

Вынесем константу за знак интеграла:

= (1/6) ∫(1/(x-5)) dx - (1/6) ∫(1/(x+1)) dx

Теперь интегрируем каждую из частей:

= (1/6) ln| x-5 | - (1/6) ln| x+1 | + C

Где C - произвольная постоянная. Полученное выражение является неопределенным интегралом исходной функции.