Question

Записать комплекс напряжения u=100*cos(157t). И второй вопрос: чем отличается преобразование в комплексное значение, исходного значения с синусом от исходного значения с косинусом ?

Answer 1

Напряжение u(t)и ток i(t)изменяются по синусоидальному закону с одной частотой, следовательно, мгновенные значения тока и напряжения в цепи записываются:

u = Um sin(t+u ),

i = Im sin(t+i),

где Um - амплитудное значение напряжения; Im - амплитудное значение тока;  = 2f - угловая частота; f = 1/T - частота синусоидальных напряжения и тока; Т - период; u - начальная фаза синусоидального напряжения; i - начальная фаза синусоидального тока

 = 2f= 250= 314 рад/с ; u= - /6 = -30 о ; i=  /4 = 45 о .

Начальная фаза напряжения uимеет знак (-), так как синусоида u(t)сдвинута по оси абсцисс вправо от начала координат (величина самой функции при t =0 имеет отрицательное значение). Напомним, что началом любой синусоиды полагается точка перехода функции из отрицательного значения в положительное значение. Поэтому же начальная фаза тока имеет знак (+), так как синусоида i(t) сдвинута по оси абсцисс влево от начала координат. Таким образом имеем:

u = 141sin (314t– 30о) В,i = 2,82sin (314t + 45о) А.

Синусоидальные функции времени изображаются также комплексными числами которые, по сути, аналитически описывают вращающиеся радиус-векторы на комплексной плоскости, рассматриваемые в момент времени t =0.

Комплексные изображения синусоидальных величин чаще всего записываются для действующих значений. Поэтому в первую очередь определим действующие значения тока и напряжения данной цепи:



Представим u(t) и i(t) в комплексной форме (показательная форма записи комплексных чисел):

, .

Answer 2

Для записи комплексного напряжения в общем виде используется формула Эйлера, которая связывает синус и косинус:

u = A * cos(ωt + φ)

где: u - комплексное напряжение, A - амплитуда напряжения, ω - угловая частота (2πf, где f - частота), t - время, φ - смещение фазы.

Таким образом, для заданного комплексного напряжения u = 100 * cos(157t), записанный в виде синуса, мы можем привести его к виду с косинусом, используя формулу Эйлера:

u = 100 * cos(157t) = 100 * cos(157t + 0) = 100 * cos(157t + π/2 - π/2) = 100 * cos(157t + π/2) * cos(-π/2) - 100 * sin(157t + π/2) * sin(-π/2) = 100 * sin(157t) * i - 100 * cos(157t)

Таким образом, комплексное значение в форме синуса отличается от комплексного значения в форме косинуса наличием мнимой части (sin(157t) * i). В обоих случаях действительная часть соответствует косинусу, но знаки мнимых частей различаются.