Question

На координатной плоскости рисуют треугольник OAB, точка пересечения медиан которого находится в точке (19/3,11/3), а точки A и B имеют натуральные координаты. Найдите количество таких треугольников. Через O обозначено начало координат — точка с координатами (0,0); два треугольника с одинаковым набором вершин считаются одинаковыми, то есть OAB и OBA считаем одним и тем же треугольником.

Answer 1

Ответ:

у меня получилось 1

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойства медиан треугольника. Медиана проводится из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Поскольку точка пересечения медиан находится в точке (19/3, 11/3), каждая из медиан делит соответствующую сторону в отношении 2:1 (с учетом направленности). Также заметим, что медианы пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника.

Обозначим координаты точек A и B как (x_a, y_a) и (x_b, y_b) соответственно. Тогда координаты точки O (начала координат) равны (0, 0).

Координаты точки пересечения медиан совпадают с координатами центра тяжести треугольника. По свойствам центра тяжести треугольника координаты центра тяжести выражаются как среднее арифметическое координат вершин треугольника. Таким образом, у нас есть:

\[ \frac{x_a + x_b}{2} = \frac{19}{3} \]

\[ \frac{y_a + y_b}{2} = \frac{11}{3} \]

Также, учитывая, что медиана делит стороны в отношении 2:1, координаты вершин A и B связаны следующим образом:

\[ x_a = 2 \cdot x_b \]

\[ y_a = 2 \cdot y_b \]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Подставим выражения для \(x_a\) и \(y_a\) в уравнения центра тяжести:

\[ \frac{2 \cdot x_b + x_b}{2} = \frac{19}{3} \]

\[ \frac{2 \cdot y_b + y_b}{2} = \frac{11}{3} \]

Решив эту систему уравнений, найдем значения \(x_b\) и \(y_b\). После этого мы можем найти координаты точек A и B и, таким образом, получить координаты треугольника OAB.

Теперь, учитывая условие натуральных координат для точек A и B, мы должны проверить, сколько существует уникальных наборов натуральных координат, удовлетворяющих условиям задачи. Каждый уникальный треугольник OAB будет считаться отдельным.