Question

Теоремы геометрии 8 класса

Answer 1

Теорема 6.1. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 6.2 (Обратная теореме 6.1). Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Теорема 6.4. Диагонали прямоугольника равны.

Теорема 6.5. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6 (Теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема 6.7. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

Теорема 6.8. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Теорема 6.9. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Теорема 7.2 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Следствия:
-В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
-cosA < 1 для любого острого угла А.
-Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Теорема 7.3 (Неравенство треугольника). Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Следствие: В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других.

Теорема 7.4. Для любого острого угла А.
sin(90o-A) = cosA, cos(90o-A) = sinA.

Теорема 7.5. При возрастании острого угла sinA и tgA возрастают, а cosA убывает.

Теорема 9.1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Следствие: При движении прямые переходят в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.

Теорема 9.2. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Теорема 9.3. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Теорема 9.4. Каковы бы ни были две точки А и А’, существует один и только один параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А’.

Теорема 10.1. Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство


Теорема 10.2. Абсолютная величина вектора равна . Направление вектора при совпадает с направлением вектора , если l> 0, и противоположно направлению вектора , если l< 0.

Теорема 10.3. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Следствия:
Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0.
Если скалярное произведение отличных от 0 векторов равно 0, то векторы перпендикулярны.

Answer 2

В геометрии для 8-го класса обычно изучаются следующие основные теоремы:

1. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

2. Теорема о равенстве углов при параллельных прямых: Если две прямые пересекаются третьей прямой так, что образуется система параллельных прямых, то соответственные углы равны.

3. Теорема о равных углах: Если две прямые пересекаются третьей прямой так, что образуется система пересекающихся прямых, то вертикальные углы равны.

4. Теорема о пропорциональности сторон в подобных треугольниках: В подобных треугольниках отношение любых двух соответственных сторон равно.

5. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6. Теорема о касательной к окружности: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

7. Теорема о центральном угле и его половине: Центральный угол, образованный двумя лучами, равен удвоенному углу, образованному этими лучами на окружности. Половина центрального угла равна углу, образованному теми же лучами на окружности.

8. Теорема о хорде и ее центральном угле: Центральный угол, образованный двумя радиусами, равен углу, образованному хордой на окружности.

Это лишь некоторые из основных теорем, которые изучаются в геометрии 8-го класса.