Question

Разложи на множители x3+4x2−4x−16.Алгебрааааа​

Answer 1

$x^{3}$+4$x^{2}$−4x−16

$x^{2}$(x+4)-4(x+4)

($x^{2}$-4)(x+4)

Answer 2

Хорошо, разложим многочлен $x^3 + 4x^2 - 4x - 16$ на множители.

Сначала поищем рациональные корни этого многочлена с помощью рациональной теоремы о корнях многочлена (или теоремы о целых корнях).

Потенциальные рациональные корни можно найти, рассматривая все делители свободного члена (в данном случае 16) и делители старшего коэффициента (в данном случае 1). Возможные корни включают ±1, ±2, ±4, ±8 и ±16.

Пробуем подставить эти значения в многочлен и проверить, равен ли он нулю:

1. Подставляем $x = 1$:

   $1^3 + 4 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 - 16 = 1 + 4 - 4 - 16 = -15$

2. Подставляем $x = -1$:

   $(-1)^3 + 4 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) - 16 = -1 + 4 + 4 - 16 = -9$

3. Подставляем $x = 2$:

   $2^3 + 4 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 16 = 8 + 16 - 8 - 16 = 0$

Итак, мы нашли, что $x = 2$ является корнем этого многочлена.

Теперь мы можем разделить $x^3 + 4x^2 - 4x - 16$ на $(x - 2)$ с использованием синтетического деления или деления в столбик:

scssCopy code
        x^2 + 6x + 8
(x - 2) | x^3 + 4x^2 - 4x - 16
          - (x^3 - 2x^2)
           ------------
                  6x^2 - 4x
                  - (6x^2 - 12x)
                  -------------
                           8x - 16
                           - (8x - 16)
                           -----------
                                     0

Результат деления: $x^2 + 6x + 8$.

Таким образом, многочлен $x^3 + 4x^2 - 4x - 16$ можно разложить на множители как $(x - 2)(x^2 + 6x + 8)$.

Далее, разберем квадратное уравнение $x^2 + 6x + 8$:

Мы видим, что оно не имеет рациональных корней. Поэтому можем воспользоваться квадратным трехчленом:

$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$.

Итак, окончательное разложение на множители:

$x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = (x - 2)(x + 2)(x + 4)$.