Question

почему в тундре много болот и озёр

Answer 1

Потому что в тундре много воды, песка мало. И под слоем почвы - вечная мерзлота, лёд, значит, вот вода и не уходит глубоко: лёд не пускает

Answer 2

 Самая главная причина - невысокое испарение. И хотя осадков выпадает тоже немного, испарение все равно меньше, при таком соотношении влага накапливается. 
Вторая причина - вовсе не вечная мерзлота, а тяжелые грунты, через которые вода плохо просачивается (глеевые, тундрово-глеевые, а по механическому составу - глинистые или суглинистые почвы). 
Третья причина - рельеф. Рельеф - плоский, с наличием небольших западин.