Question

Окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B. Общая касательная к этим окружностям проходящая через точку B, пересекаются с некоторой другой их общей касательной точке A. Найдите радиус второй окружности, если AB =6.

Answer 1

Сделаем рисунок и обозначим центр одной окружности К, второй - М.
Точки касания окружностей со второй касательной Т и Е.  
Соединим А с центрами окружностей
АК и АМ - биссектрисы углов ВАТ и ВАЕ соответственно, т.к. центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. 
Тогда угол КАМ=90º
АВ⊥КМ ( радиусы перпендикулярны касательной в точке касания)
⇒
АВ - высота прямоугольного треугольника и является средним геометрическим между отрезками гипотенузы, на которые она ее делит. ⇒
АВ²=КВ•MB
36=4•BM
BM=36:4=9 - это длина радиуса второй окружности. 

Answer 2

Пусть радиус первой окружности равен R.

Так как окружность радиуса 4 касается внешним образом второй окружности в точке B, то расстояние между их центрами равно сумме радиусов: R + 4.

Также, общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку B, пересекается с некоторой другой их общей касательной в точке A.

По условию AB = 6, то есть отрезок AB равен 6.

Поскольку отрезок, соединяющий центры окружностей, перпендикулярен касательной, то треугольник ABO прямоугольный.

Применим теорему Пифагора для треугольника ABO:

AB^2 = AO^2 + OB^2

6^2 = (R + 4)^2 + R^2

36 = R^2 + 8R + 16 + R^2

2R^2 + 8R - 20 = 0

R^2 + 4R - 10 = 0

Применим квадратное уравнение:

D = b^2 - 4ac

D = 4^2 - 4 * 1 * (-10)

D = 16 + 40

D = 56

Найдем корни уравнения:

R1,2 = (-b ± √D) / 2a

R1,2 = (-4 ± √56) / 2

R1 = (-4 + √56) / 2

R1 = (-4 + 2√14) / 2

R1 = -2 + √14

R2 = (-4 - √56) / 2

R2 = (-4 - 2√14) / 2

R2 = -2 - √14

Радиус второй окружности может быть только положительным, поэтому R2 = -2 - √14 не подходит.

Итак, радиус второй окружности равен R2 = -2 + √14.