Question

Задача 1. Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³. Задача 3. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается пр

Answer 1

Ответ:

Решение:

Ответ: p = 5, q = 3.

Пусть p – q = n, тогда p + q = n³.

Отсюда .

Среди трех последовательных целых чисел одно делится на 3, поэтому q делится на 3. Среди простых чисел только 3 делится на 3. Значит, q = 3. Это значение q получается при n = 2.

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Ответ: p = 5, q = 3.

Пусть p – q = n, тогда p + q = n³.

Отсюда .

Среди трех последовательных целых чисел одно делится на 3, поэтому q делится на 3. Среди простых чисел только 3 делится на 3. Значит, q = 3. Это значение q получается при n = 2.

Answer 3

Задача 1. Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³:

Давайте рассмотрим уравнение p + q = (p – q)³ и попробуем найти простые числа p и q, которые удовлетворяют ему.

1. Если p и q - простые числа, то (p – q)³ - также простое число, так как в противном случае уравнение не имело бы решений.

2. Рассмотрим четные и нечетные случаи:

   a) Если оба p и q четные, то их сумма также четна, но (p – q)³ - нечетное число. Поэтому нет решений в этом случае.

   b) Если оба p и q нечетные, то их сумма также нечетна, но (p – q)³ - четное число. Также нет решений в этом случае.

   c) Если одно из чисел p и q четное, а другое нечетное, то их сумма будет нечетной. Однако, (p – q)³ будет четным числом, и опять же нет решений.

Из вышеперечисленных рассмотрений видно, что уравнение p + q = (p – q)³ не имеет решений среди простых чисел p и q.

Задача 3. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, и прямая l касается окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC в точках M и N соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l:

Для решения этой задачи давайте воспользуемся теоремой о касательных, которая утверждает, что касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в этой точке. Также, воспользуемся теоремой о касательных к окружности, проведенных из одной точки, которые равны по длине.

1. Пусть O1 и O2 - центры окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC соответственно.

2. Проведем радиусы от O1 и O2 к точкам касания прямой l с окружностями в точках M и N. Обозначим эти точки как P1 и P2 соответственно.

3. Так как OP1 и OP2 - радиусы окружностей и касательные к окружностям в точках касания, то OP1 и OP2 перпендикулярны к l.

4. Также, так как P1 и P2 - точки касания, то P1M = P1O1 и P2N = P2O2.

5. Из того, что P1M = P1O1 и P2N = P2O2, следует, что P1P2 = O1O2.

6. Таким образом, отрезок P1P2 соединяет центры окружностей, описанных около треугольников ADB и ADC.

7. По теореме о касательных, проведенных из одной точки, отрезок P1P2 равен по длине касательным, проведенным из точки D к окружностям.

8. Значит, касательная из точки D к окружности, проходящей через середины отрезков BD, DC и MN, также проходит через точки P1 и P2, а, следовательно, касается прямой l.

Таким образом, окружность, проходящая через середины отрезков BD, DC и MN, касается прямой l, что и требовалось доказать.