Question

Докажите что сумма высот треугольника меньше его периметра​

Answer 1

Вроде бы это правильно

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит: "В любом треугольнике сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны". Данное неравенство применимо к длинам сторон треугольника.

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, и его стороны обозначены как a, b и c. Высоты треугольника, проведенные из вершин A, B и C, обозначим как h_a, h_b и h_c соответственно.

Тогда периметр треугольника равен P = a + b + c.

Давайте рассмотрим высоту h_a, проведенную из вершины A. Посмотрим на два треугольника, которые образуются при проведении высоты h_a: это треугольник ABC и прямоугольный треугольник ACH, где H - точка пересечения высоты h_a с противоположной стороной BC. Таким образом, имеем:

Высота h_a является катетом в прямоугольном треугольнике ACH, а его гипотенуза — сторона треугольника ABC (предположим, это сторона a). Из неравенства треугольника для прямоугольного треугольника ACH: a > h_a.

Точно так же можно доказать, что для других высот верно следующее: b > h_b, c > h_c.

Теперь сложим все три неравенства:

a + b + c > h_a + h_b + h_c.

Но h_a + h_b + h_c равно сумме высот треугольника, обозначим её как H:

H = h_a + h_b + h_c.

Таким образом, у нас есть:

a + b + c > H.

Из этого следует, что сумма высот треугольника (H) меньше его периметра (P):

H < P.

Таким образом, доказано, что сумма высот треугольника меньше его периметра.