Question

6. Докажите, что прямые AB и CD перпендикулярны, зная, что: а) А(-1; 2), B(-2; 5), C(1; 2), D(4; 3);б) А(2; 3), B(-3; 2), C(-3; 3), D(-2; 0);в) А(-2; 4), B(-5; 1), C(-3; 2), D(0; -1);г) А(3; -3), B(-1; -2), С(2; -1), D(3; 3).​

Answer 1

Ответ:

Б А (2;3), B (-3;2), C (-3;3), D (-2;0)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что две прямые перпендикулярны, нужно проверить, что их угловые коэффициенты обратно пропорциональны, то есть их произведение равно -1. Угловой коэффициент линии можно найти по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$

Давайте найдем угловые коэффициенты для данных линий и проверим их произведение:

а) А(-1; 2), B(-2; 5), C(1; 2), D(4; 3):

Угловой коэффициент AB:

$k_{AB} = \frac{5 - 2}{-2 - (-1)} = \frac{3}{-1} = -3.$

Угловой коэффициент CD:

$k_{CD} = \frac{3 - 2}{4 - 1} = \frac{1}{3}.$

Произведение угловых коэффициентов AB и CD:

$-3 \cdot \frac{1}{3} = -1.$

Произведение равно -1, поэтому прямые AB и CD перпендикулярны.

б) А(2; 3), B(-3; 2), C(-3; 3), D(-2; 0):

Угловой коэффициент AB:

$k_{AB} = \frac{2 - 3}{-3 - 2} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}.$

Угловой коэффициент CD:

$k_{CD} = \frac{0 - 3}{-2 - (-3)} = \frac{-3}{1} = -3.$

Произведение угловых коэффициентов AB и CD:

$\frac{1}{5} \cdot (-3) = -\frac{3}{5}.$

Произведение не равно -1, поэтому прямые AB и CD не перпендикулярны.

в) А(-2; 4), B(-5; 1), C(-3; 2), D(0; -1):

Угловой коэффициент AB:

$k_{AB} = \frac{1 - 4}{-5 - (-2)} = \frac{-3}{-3} = 1.$

Угловой коэффициент CD:

$k_{CD} = \frac{-1 - 2}{0 - (-3)} = \frac{-3}{3} = -1.$

Произведение угловых коэффициентов AB и CD:

$1 \cdot (-1) = -1.$

Произведение равно -1, поэтому прямые AB и CD перпендикулярны.

г) А(3; -3), B(-1; -2), С(2; -1), D(3; 3):

Угловой коэффициент AB:

$k_{AB} = \frac{-2 - (-3)}{(-1) - 3} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}.$

Угловой коэффициент CD:

$k_{CD} = \frac{3 - (-1)}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4.$

Произведение угловых коэффициентов AB и CD:

$-\frac{1}{4} \cdot 4 = -1.$

Произведение равно -1, поэтому прямые AB и CD перпендикулярны.

Итак, в случаях (а) и (г) прямые AB и CD перпендикулярны, а в случаях (б) и (в) они не перпендикулярны.