Question

Два сообщения содержат одинаковое количество символов. Количество информации в первом тексте в 2,5 раза больше, чем во втором. Какова мощность каждого из алфавитов, с помощью которых записаны сообщения, если известно, что число символов в каждом алфавите не превышает 32 и на каждый символ приходится целое число битов?

Answer 1

Оценка количества в сообщении может производиться по формуле Хартли.
Получаем уравнение:
$2.5\times I_1=I_2; \ I_1=log_2(m_1); \ I_2=log_2(m_2); \\ 2.5\times log_2(m_1)=log_2(m_2); \ log_2(m_1^{2.5})=log_2(m_2); \to m_2=m_1^{2.5} \\ m_2=m_1^2 \sqrt{m_1}$
Мощность большего из алфавитов не может превышать 32, т.е.
$m_1^2 \sqrt{m} \leq 32 \to m_1 \leq 4; \ m_2=32$
Ответ: мощности алфавитов равны 32 и 4 символа соответственно.

Answer 2

Давайте обозначим количество символов в каждом из сообщений как \(n\), а количество битов, которые приходятся на один символ, как \(b\). Также у нас есть информация о том, что количество информации в первом тексте в 2,5 раза больше, чем во втором.

1. Пусть \(n_1\) - количество символов в первом тексте, \(n_2\) - количество символов во втором тексте. 2. Пусть \(b_1\) - количество битов на символ в первом тексте, \(b_2\) - количество битов на символ во втором тексте.

Мы знаем, что:

\[ n_1 = n_2 \]

и

\[ n_1 \cdot b_1 = 2,5 \cdot n_2 \cdot b_2 \]

Также, учитывая, что количество битов на символ в каждом алфавите не превышает 32, мы можем записать:

\[ b_1 \leq 32 \]

\[ b_2 \leq 32 \]

Давайте преобразуем уравнение:

\[ n_1 \cdot b_1 = 2,5 \cdot n_2 \cdot b_2 \]

Подставим \(n_1 = n_2\):

\[ n_2 \cdot b_1 = 2,5 \cdot n_2 \cdot b_2 \]

Разделим обе стороны на \(n_2\):

\[ b_1 = 2,5 \cdot b_2 \]

Таким образом, у нас есть соотношение между количеством битов на символ в первом тексте и во втором тексте. Теперь давайте учтем ограничение на количество битов:

\[ b_1 \leq 32 \]

\[ 2,5 \cdot b_2 \leq 32 \]

Теперь найдем возможные значения для \(b_1\) и \(b_2\). Поскольку на каждый символ приходится целое число битов, допустимые значения для \(b_1\) и \(b_2\) будут целыми числами. Мы можем начать с \(b_2 = 1\) и увеличивать его до тех пор, пока \(2,5 \cdot b_2\) не превысит 32.

\[ 2,5 \cdot 1 = 2,5 \]

\[ 2,5 \cdot 2 = 5 \]

\[ 2,5 \cdot 3 = 7,5 \]

\[ 2,5 \cdot 4 = 10 \]

\[ 2,5 \cdot 5 = 12,5 \]

\[ 2,5 \cdot 6 = 15 \]

\[ 2,5 \cdot 7 = 17,5 \]

\[ 2,5 \cdot 8 = 20 \]

\[ 2,5 \cdot 9 = 22,5 \]

\[ 2,5 \cdot 10 = 25 \]

\[ 2,5 \cdot 11 = 27,5 \]

\[ 2,5 \cdot 12 = 30 \]

\[ 2,5 \cdot 13 = 32,5 \]

Таким образом, мы видим, что \(b_2 = 13\) - это последнее значение, при котором \(2,5 \cdot b_2 \leq 32\).

Теперь можем найти \(b_1\):

\[ b_1 = 2,5 \cdot b_2 = 2,5 \cdot 13 = 32,5 \]

Так как количество битов должно быть целым числом, берем целую часть от \(b_1\):

\[ b_1 = 32 \]

Таким образом, мы нашли, что \(b_1 = 32\) и \(b_2 = 13\). Следовательно, каждый символ в первом алфавите кодируется 32 битами, а во втором - 13 битами.