Question

Составьте таблицу истинности для логической функцииX = (А → B) /\ (C ↔ ¬(B \/ A))в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 226, столбец значений аргумента В – числа 154, столбец значений аргумента С – числа 75. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему. Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Answer 1

1. Упростим исходную логическую функцию
$y=(A \to B) \land(C \equiv \lnot(B \lor A))$
Для удобства записи будем использовать общепринятые сокращения. Операцию логического сложения (дизъюнкцию) "∨" будем обозначать знаком "+". Логическое умножение (конъюнкцию) "∧" будем обозначать знаком умножения (точкой) или опускать, как принято в алгебре. Вместо знака логического отрицания будем использовать надчеркивание.
$y=(A \to B)(C \equiv \overline{B+A}); \\ y=(\bar A+B)(C \equiv \overline{B+A})=(\bar A+B)(\bar C(B+A)+C \overline{B+A})= \\ (\bar A+B)(\bar CB+\bar CA+C\bar B \bar A})=\bar AB\bar C+\bar AAC+\bar A\bar BC+B\bar C+AB\bar C+ \\ \bar AB\bar BC=\bar AB\bar C+0+\bar A\bar BC+B\bar C+AB\bar C+0= \\ \bar AB\bar C+\bar A\bar BC+B\bar C+AB\bar C=B\bar C(\bar A+1+A)+\bar A\bar BC=\bar A\bar BC+B\bar C$
2. Переведем в двоичную систему счисления заданные значения A, B, C:
$\begin {array} {rcl} A =226_{10} &=& 11100010_2; \\ B=154_{10} &=& 10011010_2; \\ C=075_{10} &=& 01001011_2 \end {array}$
3. Построим таблицу истинности для функции у
$\begin {array}{ccccccccc} A&B&C&\bar A&\bar B&\bar A\bar BC&\bar C&B\bar C&Y=\bar A\bar BC+B\bar C \\ 1&1&0&0&0&0&1&1&1 \\ 1&0&1&0&1&0&0&0&0 \\ 1&0&0&0&1&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&0&0&1&1&1 \\ 0&1&1&1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&1&0&1&0&0 \\ 1&1&1&0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&1&1&1&1&0&0&1 \end {array}$
4. Переведем результат в десятичную систему счисления
$10010001_2=145_{10}$