Question

Число х представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их сумма квадратов была наименьшей

Answer 1

PascalABC.NET 3.3.5, сборка 1640 от 17.03.2018
Внимание! Если программа не работает, обновите версию!

begin
  var n:=ReadInteger('n=');
  var a:=n div 2;
  var b:=n-a;
  Writeln(n,'=',a,'+',b,', сумма квадратов равна ',a*a+b*b)
end.

Пример
n= 35
35=17+18, сумма квадратов равна 613

Answer 2

Для решения этой задачи используем метод дифференциации. Предположим, что два неотрицательных слагаемых обозначены как \(a\) и \(b\), где \(x = a + b\). Нам нужно минимизировать сумму квадратов, то есть функцию:

\[f(a, b) = a^2 + b^2\]

С учетом условия \(x = a + b\), мы можем выразить одну переменную через другую. Для этого представим \(b\) как \(x - a\) и подставим это значение в функцию \(f(a, b)\):

\[f(a) = a^2 + (x - a)^2\]

Раскроем скобки:

\[f(a) = a^2 + x^2 - 2ax + a^2\]

Теперь у нас есть функция от одной переменной. Чтобы найти минимум, найдем ее производную по \(a\) и приравняем к нулю:

\[f'(a) = 2a - 2x = 0\]

Отсюда получаем, что \(a = x\). Теперь мы знаем значение \(a\), и можем найти соответствующее значение \(b\):

\[b = x - a = x - x = 0\]

Таким образом, минимум суммы квадратов достигается, когда оба слагаемых равны \(x/2\). Таким образом, чтобы представить число \(x\) в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их сумма квадратов была наименьшей, нужно взять оба слагаемых равными \(x/2\).