Question

В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 56 и 124 заканчиваются на 5. Определите основание системы счисления.

Answer 1

Баллов вообще-то маловато для такого задания.

Допустим, что эта система счисления по основанию к. к - нам нужно найти.

Тогда 56 запишется в этой системе следующим образом. ПРи делении 56 на основании этой системы получаем какое -то целое число n, а в остатке 5.

 

56=n*k+5  (1)

 

Тогда 124 запишется в этой системе следующим образом. Здесь при делении 124 на основание этой системы получаем m, а в остатке 5.

124=m*k+5  (2)

Отнимем из второго уравнения первое

 

68=mk-nk

 

68=k*(m-n)

 

Теперь найдем целые делители числа 68. Вообще-то лучше разложить 68 на простые множители.

 

Это будет 2*2*17=68.

 

Значит множители 68 будут основаниями искомой системы.

 

1) 2 - по этому основанию не может быть искомая система, так как на пятерку число не будет заканчиваться, потому что пятерки нет в двоичной системе.

 

2) 2*2=4 - по этому основанию не может быть искомая система, так как на пятерку число не может оканчиваться. Пятерки нет в четверичной системе.

 

3) 17 - по этому основанию может быть система. Так как пятерка есть в этой системе.

56=17*3+5. То есть в семнадцатиричной системе 56 будет записываться как 35.

124=17*7+5. В семнадцатиричной системе 124 записывается в виде 75.

 

4) 2*17=34. - по этому основанию может быть искомая система. Здесь 56=34*1+22. Только вот остатком пятерка уже не является. Значит это решение нам не подходит.

 

5) 68 - основанием системы быть не может. Так как 56 не выразится через это основание

 

Ответ: основанием этой системы может лишь быть 17.