Question

В классе 1000q учеников, из них 120q девочек и 110q мальчиков. найдите q

Answer 1

Не сразу сообразил, что q -это основание системы счисления, в которой записаны эти три числа. Напишу два способа решения.

Решение 1 (логическое, попроще):
по условию задачи понятно, что $120_{q} + 110_{q} = 1000_{q}$
(количество учеников равно числу девочек плюс число мальчиков)
Посмотрим, как происходит поразрядное сложение этих двух чисел:
$~~~120_q \\ +110_q \\ --- \\~~~ 1000_q$
в первом разряде: $0_q+0_q=0_q$  -здесь вопросов нет
во втором разряде: $2_q+1_q=0_q$   -это значит, что цифры три в этой системе счисления нет (к двойке добавили единицу, но тройку не получили, а получили обнуление этого разряда и естественно единица добавилась к следующему разряду, то есть полностью сумма выглядит так: $2_q+1_q=10_q$).
Итак, в этой системе используются только три цифры: 0, 1, 2.  Значит это система с основанием 3.  Ответ: q=3.

Решение 2 (через уравнение, посложнее):
возьмём уравнение, написанное в начале способа №1, но числа распишем по правилам перевода из системы с любым основанием в десятичную систему:
(1*q^2 +2*q^1 +0*q^0) + (1*q^2 +1*q^1 +0*q^0) = (1*q^3 +0*q^2 +0*q^1 +0*q^0)
а далее будем упрощать выражения и решать полученное уравнение по обычным правилам алгебры:
q^2 + 2*q + q^2 + q = q^3
q^3 - 2*q^2 - 3*q = 0
q * (q^2 - 2*q - 3) = 0
это произведение будет равно нулю если q=0,  либо если  q^2 - 2*q - 3 = 0
решим это квадратное уравнение:
$q_{1} = \frac{-(-2)+ \sqrt{(-2)^{2}-4*1*(-3) } }{2*1}=\frac{2+ \sqrt{16} }{2} = 3 \\ \\ q_{2} = \frac{-(-2)- \sqrt{(-2)^{2}-4*1*(-3) } }{2*1}=\frac{2- \sqrt{16} }{2} = -1$
Итак, корни исходного (кубического) уравнения- числа 0,  3  и  -1
Ноль и минус один по условиям нашей задачи не подходят, т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным или равным нулю.
Поэтому, имеем только один ответ: основание q=3.


По желанию можно выполнить проверку нашего решения:
Переведём три числа, указанные в условии задачи из троичной системы счисления в десятичную (перевод уже расписан в начале способа №2):
120₃ = 1*3^2 + 2*3^1 = 9 + 6 = 15₁₀  (девочек)
110₃ = 1*3^2 + 1*3^1 = 9 + 3 = 12₁₀  (мальчиков)
1000₃ = 1*3^3 = 27₁₀  (учеников всего)
Суммируем первые два полученных числа: 15 + 12 = 27
Сумма сходится, значит решение верно.