Question

Значение арифметического выражения 9 в степени 2016 плюс 3 в степени 2015 минус 9 записали в системе счисления с основанием 3 Сколько цифр 2 содержится в этой записи?

Answer 1

Приведем степени к основанию 3
$3^{4032}+3^{2015}-3^{2}$

Десятичное число 3 в степени n в троичной системе - это единица с n нулей после неё. То есть 3^4032 - это единица и 4032 нуля.
Количество двоек в выражении 

$3^{2015}-3^{2}$

будет равно разнице степеней, то есть 2015-2=2013
То есть получается, что в самом начале у нас единица с кучей нулей после неё, а потом идёт 2013 двоек.

Ответ: 2013

Answer 2

Для решения задачи, давайте сначала вычислим значение арифметического выражения.

9 в степени 2016: 9^2016 = 9 * 9 * 9 * ... * 9 (2016 раз) 9^2016 = 729 * 729 * 729 * ... * 729 (672 группы по 3 девятки и 1 группа с 2 девятками) 9^2016 = 3^6 * 3^6 * 3^6 * ... * 3^6 * 3^2 9^2016 = (3^6)^336 * 3^2 9^2016 = 3^2016 * 3^2 9^2016 = 3^2018

3 в степени 2015: 3^2015 = 3 * 3 * 3 * ... * 3 (2015 раз) 3^2015 = 3^2014 * 3 3^2015 = 3^2016

Теперь вычислим значение выражения: 3^2018 + 3^2016 - 9 = 3^2016 + 3^2016 - 9 = 2 * 3^2016 - 9

Теперь перейдем к записи этого числа в системе счисления с основанием 3. 2 * 3^2016 - 9 = 2 * (3^2016 - 1) = 2 * (3^2015 + 3^2014 + ... + 3 + 1) - 9

Мы видим, что в записи этого числа будут присутствовать только цифры 0, 1 и 2. Так как в каждом слагаемом мы умножаем 3 на 3, а затем вычитаем 1 или 9, то в каждом слагаемом будет только одна цифра 2. Таким образом, в записи этого числа будет 2015 цифр 2, так как мы складываем 2015 слагаемых.

Ответ: В записи арифметического выражения 9 в степени 2016 плюс 3 в степени 2015 минус 9 в системе счисления с основанием 3 содержится 2015 цифр 2.