Question

Некоторое натуральное число, записанное в системе счисления с основанием x, является трехзначным: abcx. В конец этого числа дописали его цифры в том же порядке. Получилось шестизначное число abcabcx. Оказалось, что новое число в 4097 раз больше исходного. Определите основание системы счисления x. В ответе укажите целое число.

Answer 1

Пусть наше число записывается в виде abc. Тогда в системе счисления с основанием x числа abc и abcabc выражаются следующим образом:

 

abc = ax^2 + bx +c (1)

abcabc = ax^5 + bx^4 + cx^3 + ax^2 + bx + c = x^3(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + bx + c) = (x^3 + 1)(ax^2 + bx + c) (2)

 

Из условия следует, что (2) должно равняться (1), умноженному на 4097:

 

(x^3 + 1)(ax^2 + bx + c) = 4097*(ax^2 + bx +c) => х^3 = 4096 => х = 16

 

Ответ: основание системы счисления равно 16 (т.е. это шестнадцатиричная система счисления).

Answer 2

Решение:

Дано, что трехзначное число в системе счисления с основанием x записано в виде abc_x. При дописывании цифр числа в том же порядке получается шестизначное число abcabc_x. Из условия также известно, что новое число в 4097 раз больше исходного.

Мы можем записать это условие в виде уравнения:

abcabc_x = 4097 * abc_x

Для решения этого уравнения мы можем преобразовать числа в десятичную систему счисления:

(100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c)x = 4097(100a + 10b + c)x

Упрощая уравнение, получим:

100100a + 10010b + 1010c = 4097(100a + 10b + c)

Умножим правую часть уравнения на x:

100100ax + 10010bx + 1010cx = 409700ax + 40970bx + 4097cx

Выразим все слагаемые с x на одной стороне уравнения:

100100ax - 409700ax = 4097cx - 1010cx - 10010bx + 10010b

Упростим уравнение:

-309600ax = 3087cx - 10010bx + 10010b

Теперь давайте рассмотрим различные значения a, b и c.

Когда a = 0:

-309600 * 0 = 3087c * x - 10010b * x + 10010b

0 = 3087cx - 10010bx + 10010b

Когда a ≠ 0:

x = (3087c - 10010b) / (100100 - 409700a)

Мы знаем, что x является целым числом. Поэтому, чтобы найти основание системы счисления x, мы можем проверить все возмож