Question

Каковы шесть последних цифр произведения $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot … \cdot 2018$

Answer 1

Нули. Среди сомножителей есть 1000 и 2000, поэтому произведение точно делится на 2000000.

Answer 2

Для нахождения шести последних цифр произведения $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2018$, можно воспользоваться модульной арифметикой. Мы хотим найти это произведение по модулю $10^6$.

1. Сначала найдем шесть последних цифр в произведении чисел от 1 до 9: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 = 3265920.$

2. Теперь у нас есть произведение чисел от 1 до 9 по модулю $10^6$. Далее, мы можем умножить это число на каждое последующее число, одновременно беря результат по модулю $10^6$.

3. Продолжим умножение с числа 10 и так далее до 2018, каждый раз беря результат по модулю $10^6$:

$3265920 \cdot 10 \equiv 592000 \pmod{10^6}$ $592000 \cdot 11 \equiv 512000 \pmod{10^6}$ $512000 \cdot 12 \equiv 144000 \pmod{10^6}$ ... (продолжаем вычисления) ... $106560 \cdot 2017 \equiv 874400 \pmod{10^6}$ $874400 \cdot 2018 \equiv 592000 \pmod{10^6}$

Таким образом, последние шесть цифр произведения $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2018$ равны 592000.