Question

Програмирование Паскаль Дано натуральное число N. Представить его в виде суммы простых натуральных чисел так, чтобы произведение этих слагаемых было максимально. Входные данные В единственной строке входного файла INPUT.TXT записано одно натуральное число N (1 < N < 2 000 000 000). Выходные данные В единственную строку выходного файла OUTPUT.TXT нужно вывести простые числа по возрастанию с указанием их количества при разложении, т.е.: <число> <количество>. Примеры № INPUT.TXT OUTPUT.TXT 1 5 2 1 3 1 2 30 3 10

Answer 1

Максимально возможное произведение получается при разложении на тройки и двойки:
var n, a: longint;
begin
  read(n);
  a := n div 3;
  n := n mod 3;
  if n = 1 then
  begin
    a := a - 1;
    n := n + 3
  end;
  if n > 1 then write('2 ', n div 2, ' ');
  if a > 0 then write('3 ', a)
end.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится алгоритм поиска простых чисел и алгоритм разложения числа на простые множители.

1. Реализуем алгоритм поиска простых чисел до заданного числа n. Для этого создадим функцию prime_numbers(n), которая будет возвращать список всех простых чисел до n. Воспользуемся алгоритмом Решето Эратосфена:

- Создадим список boolean значений размером n + 1, все элементы изначально установим в True. - Установим элементы с индексами 0 и 1 в False, так как они не являются простыми числами. - Для всех чисел i от 2 до n: - Если i является простым числом (текущий элемент списка равен True), то для всех чисел j от i*i до n с шагом i: - Установим элемент с индексом j в False, так как оно не является простым числом. - Возвращаем список всех индексов i, для которых элемент списка равен True.

2. Реализуем алгоритм разложения числа на простые множители. Создадим функцию prime_factorization(n), которая будет возвращать список простых множителей числа n в возрастающем порядке с указанием их количества. Для разложения числа на простые множители будем использовать перебор делителей от 2 до квадратного корня из n:

- Создадим переменную primes и присвоим ей значение prime_numbers(int(n**0.5) + 1) - список простых чисел до корня из n. - Создадим пустой список factors для хранения простых множителей. - Для каждого простого числа p из списка primes: - Пока n делится на p без остатка: - Добавляем p в список factors. - Делим n на p. - Если n больше 1, добавляем n в список factors. - Возвращаем список factors.

3. Считываем число n из файла input.txt. 4. Получаем список простых множителей числа n с помощью функции prime_factorization(n). 5. Сохраняем результат в файл output.txt в формате <число> <количество> для каждого простого множителя из списка. 6. Завершаем программу.

Вот пример программы на языке Паскаль, реализующей указанный алгоритм:

program max_prime_product;

uses
  sysutils;

function prime_numbers(n: Integer): TStringList;
var
  is_prime: array of Boolean;
  i, j: Integer;
begin
  SetLength(is_prime, n + 1);
  for i := 2 to n do
    is_prime[i] := True;

for i := 2 to n do
    if is_prime[i] then
      for j := i * i to n do
        is_prime[j] := False;

Result := TStringList.Create;
  for i := 2 to n do
    if is_prime[i] then
      Result.Add(IntToStr(i));
end;

function prime_factorization(n: Integer): TStringList;
var
  primes: TStringList;
  factors: TStringList;
  i: Integer;
begin
  primes := prime_numbers(Trunc(Sqrt(n)) + 1);
  factors := TStringList.Create;
  
  for i := 0 to primes.Count - 1 do
  begin
    while (n mod StrToInt(primes[i]) = 0) do
    begin
      factors.Add(primes[i]);
      n := n div StrToInt(primes[i]);
    end;
  end;
  
  if n > 1 then
    factors.Add(IntToStr(n));

Result := factors;
end;

var
  input, output: TextFile;
  n, i: Integer;
  factors: TStringList;
begin
  AssignFile(input, 'input.txt');
  AssignFile(output, 'output.txt');
  Reset(input);
  ReadLn(input, n);
  CloseFile(input);

factors := prime_factorization(n);

Rewrite(output);
  for i := 0 to factors.Count - 1 do
    WriteLn(output, factors[i], ' ', factors.CountOf(factors[i]));
  CloseFile(output);
end.

После выполнения этой программы файл output.txt будет содержать простые числа, на которые разложено число n, с указанием их количества при разложении.