Question

Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение ¬(x ∈ {1,2,4,8,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,4,9,16}) ∨ (x ∈ A) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

Answer 1

Ответ:

7

Объяснение:

Пусть U = ¬(x ∈ {1,2,4,8,16}), V =  ¬(x ∈ {3,4,9,16}), W = (x ∈ A). Тогда выражение имеет вид U ∧ V ∨ W = (U ∧ V) ∨ W

U истинно для всех x, кроме 1, 2, 4, 8 и 16.

V истинно для всех x, кроме 3, 4, 9 и 16.

Когда оба U, V истинны, тогда (и только тогда) истинно U ∧ V, а значит и всё выражение, так как 1 ∨ W = 1 при любом W.

U и V одновременно истинны для всех x, кроме 1, 2, 3, 4, 8, 9 и 16. Чтобы выражение для таких x было истинно, необходимо, чтобы было истинно W, то есть x принадлежало A.

Поэтому A обязательно принадлежат 1, 2, 3, 4, 8, 9 и 16 - 7 чисел. Возможно, A содержит и что-то ещё, но в вопросе интересуются множеством наименьшего размера, так что ответ 7.

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение по частям:

1. ¬(x ∈ {1,2,4,8,16}) - это отрицание того, что x принадлежит множеству {1,2,4,8,16}. Это верно, когда x не равно ни одному из этих чисел.

2. ¬(x ∈ {3,4,9,16}) - это отрицание того, что x принадлежит множеству {3,4,9,16}. Это верно, когда x не равно ни одному из этих чисел.

3. (x ∈ A) - это утверждение, что x принадлежит множеству A.

Исходное выражение ¬(x ∈ {1,2,4,8,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,4,9,16}) ∨ (x ∈ A) истинно для любого значения x. Для этого выражения быть истинным, оба отрицания в начале должны быть ложными, или одно из них должно быть ложным, а второе утверждение (x ∈ A) должно быть истинным.

Это означает, что x должно быть равно хотя бы одному из чисел из множеств {1,2,4,8,16} или хотя бы одному из чисел из множества {3,4,9,16}, или же x должно принадлежать множеству A.

Наименьшее возможное количество элементов в множестве A будет тогда, когда A содержит все эти числа, чтобы удовлетворить каждое из условий. Таким образом, наименьшее возможное количество элементов в A будет равно 8, так как множества {1,2,4,8,16} и {3,4,9,16} содержат 5 различных чисел, и нам нужно добавить ещё хотя бы 3 различных числа в A, чтобы учесть все возможные значения x.