Question

У Пети есть чёрный ящик, в который можно кидать трёхзначный числа. Чёрный ящик складывает две первые цифры числа и две последних, а затем, если получившиеся число различные, записывает их в порядке возрастания и выбрасывает наружу получившиеся число. Если же числа одинаковые, то чёрный ящик выбрасывает 0. Петя бросил в ящик своё любимое трёхзначное число и обнаружил, что результат так же трёхзначный. Кинув получившиеся трёхзначное число в ящик, Петя получил любимое трёхзначное число своей сестры Ани. На какую цифру может заканчиваться любимое число Ани? Приведите все возможные примеры. (Помогите, пожалуйста, кучу времени думаю, ничего не выходит)

Answer 1

Подумал-подумал, ничего не понял. Составил программу, производящую указанные преобразования, посмотрел сначала полный список полученных чисел (и промежуточных сумм и чисел), затем- только для чисел, подходящих по условиям задачи. Тогда, понемногу дошло:

Сначала мы имеем трёхзначное (от 100 до 999) число вида:

abc

где a,b,c -это цифры, составляющие это число

Эти цифры должны быть в таком диапазоне:

1 ≤ a ≤ 9;     0 ≤ b ≤ 9;     0 ≤ c ≤ 9

Далее, производим сложение цифр по формулам:

d = a + b;     e = b + c

При этом получаем числа d,e в диапазоне:

1 ≤ d ≤ 18;     0 ≤ e ≤ 18

Учитывая, что из d,e нужно составить трёхзначное число, то либо d либо e нужны однозначные.

Получаем два варианта, в которых d,e должны быть в таких диапазонах:

1) 1 ≤ d ≤ 9;     10 ≤ e ≤ 18

2) 10 ≤ d ≤ 18;     1 ≤ e ≤ 9

Далее, большее число у нас пойдёт вторым, отсюда мы получим трёхзначное число вида:

(1÷9)(10÷18)

(первая цифра от 0 до 9, вторая и третья цифры: это число от 10 до 18)

Либо, его можно записать как:

(1÷9)1(0÷8)

Это число вышло из чёрного ящика в первый раз.

Кидаем его ещё раз, и видим, что сумма двух последних цифр всегда будет однозначным числом.

А значит, чтобы получить на выходе трёхзначное число, нам нужна двузначная сумма первых двух цифр.

Отсюда получаем, что первая цифра должна быть только 9.

В результате, мы получим две суммы: 10 и (1÷9)

Потом большая из сумм отправляется в конец и мы получим трёхзначное число вида:

(1÷9)10

Это число вышло из чёрного ящика во второй раз.

Последняя его цифра- всегда ноль.

Вот, для примера эти расчёты для некоторых подходящих чисел (все не буду, их аж 81 штука).

В формате (нач.число, две суммы, выход1, две суммы, выход2 (2 раза)):

182   9 10  910    10  1  110   110

183   9 11  911    10  2  210   210

184   9 12  912    10  3  310   310

185   9 13  913    10  4  410   410

186   9 14  914    10  5  510   510

187   9 15  915    10  6  610   610

188   9 16  916    10  7  710   710

189   9 17  917    10  8  810   810

190  10  9  910    10  1  110   110

273   9 10  910    10  1  110   110

274   9 11  911    10  2  210   210

...

954  14  9  914    10  5  510   510

963  15  9  915    10  6  610   610

972  16  9  916    10  7  710   710

981  17  9  917    10  8  810   810

990  18  9  918    10  9  910   910

Answer 2

Давайте рассмотрим все возможные случаи.

Пусть трёхзначное число, которое Петя выбросил в ящик, будет обозначаться как "abc". Здесь "a" - первая цифра числа, "b" - вторая цифра числа, "c" - третья цифра числа.

Из условия задачи, две первые цифры складываются с двумя последними цифрами и получается новое трёхзначное число. Пусть оно будет обозначаться как "mnp". Здесь "m" - первая цифра нового числа, "n" - вторая цифра нового числа, "p" - третья цифра нового числа.

Если получившиеся цифры "m", "n", "p" различны, то Петя записывает их в порядке возрастания и выбрасывает наружу, то есть получившееся трёхзначное число равно "mnp". Если получившиеся цифры "m", "n", "p" совпадают, то Петя выбрасывает 0.

Теперь рассмотрим каждый из случаев:

1) Пусть "m", "n", "p" различны. Тогда записанные цифры будут в порядке возрастания, что, в свою очередь, означает, что "m" будет самой маленькой цифрой из трех. "m" может принимать значения от 0 до 9, кроме цифры "0", так как она будет старшей цифрой трёхзначного числа. Итак, у нас есть 9 возможных значений для "m". Следовательно, есть 9 возможных значений для "mnp", которые могут соответствовать любимому числу Ани.

2) Пусть "m", "n", "p" одинаковы. В этом случае Петя выбрасывает 0. То есть "mnp" будет равно 0. У нас есть только одно значение, которое может соответствовать этому случаю.

Таким образом, приходим к выводу, что любимое число Ани может заканчиваться на любую цифру от 0 до 9, кроме 0. Имеется 9 возможных примеров для "mnp" в первом случае и 1 пример во втором случае.

Примеры возможных значений любимого числа Ани: 1) 102 (0+1=1, 2+2=4) 2) 215 (2+1=3, 1+5=6) 3) 326 (3+2=5, 2+6=8) .... 10) 978 (9+7=16, 7+8=15)