Question

Для какого числа наименьшего натурального числа X истинно высказывание (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) →(X > 7)?

Answer 1

Наименьшим натуральным числом X, для которого истинно высказывание (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) →(X > 7), является число X = 9.




Решение:

Для высказывания (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) →(X > 7) истинным, необходимо, чтобы предпосылка (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) была ложной или заключение (X > 7) было истинным.

1. Проверим предпосылку:

  X∙(X–8) > –25 + 2∙X

  Раскроем скобки:

  X^2 - 8X > -25 + 2X

  Перенесем все члены в одну сторону:

  X^2 - 8X - 2X > -25

  Упростим:

  X^2 - 10X > -25

  Перенесем все члены в одну сторону:

  X^2 - 10X + 25 > 0

  Разложим на множители:

  (X - 5)^2 > 0

  Квадрат числа всегда неотрицателен или равен нулю. Таким образом, (X - 5)^2 не может быть отрицательным и всегда больше или равно нулю.

  Предпосылка (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) является истинной для любого значения X.

2. Проверим заключение:

  X > 7

  Чтобы заключение было истинным, значение X должно быть больше 7.

Таким образом, высказывание (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) →(X > 7) истинно для любого значения X, где X больше 7.

Answer 2

Давайте разберемся с высказыванием и найдем наименьшее натуральное число X, для которого оно истинно.

Высказывание (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) → (X > 7) можно переписать в виде импликации:

Если (X∙(X–8) > –25 + 2∙X), то (X > 7).

Рассмотрим первую часть импликации: X∙(X–8) > –25 + 2∙X.

Раскроем скобки:

X² - 8X > -25 + 2X.

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

X² - 2X - 8X + 25 > 0.

X² - 10X + 25 > 0.

Теперь найдем корни квадратного уравнения X² - 10X + 25 = 0:

(X - 5)(X - 5) = 0.

Отсюда получаем один корень X = 5.

Теперь рассмотрим вторую часть импликации: X > 7.

Итак, мы ищем наименьшее натуральное число X, для которого оба условия (X∙(X–8) > –25 + 2∙X) и (X > 7) истинны.

Проверим значения X, начиная с наименьшего натурального числа, которое больше 7, то есть X = 8:

Подставим X = 8 в выражение X∙(X–8) > –25 + 2∙X:

8∙(8–8) > –25 + 2∙8,

8∙0 > –25 + 16,

0 > –9.

Условие не выполняется, поэтому X = 8 не подходит.

Теперь попробуем X = 9:

Подставим X = 9 в выражение X∙(X–8) > –25 + 2∙X:

9∙(9–8) > –25 + 2∙9,

9∙1 > –25 + 18,

9 > –7.

Условие выполняется, и X = 9 подходит.

Таким образом, наименьшее натуральное число X, для которого истинно данное высказывание, равно X = 9.