Question

В некоторой стране живут 1000 человек. Провительство решило дать каждому собственный код, все коды должны быть одинаковой длины и состоять из цифр 1,2,3 и 4. Определите наименьшую длину таких кодов

Answer 1

Нужно найти такое значение n, при котором выполняется условие $4^{n} \geq 1000$

Это число 5, так как  $4^{n} = 1024$, то есть коды должны быть пятизначными

Answer 2

Чтобы определить наименьшую длину кода, который позволит присвоить уникальный код каждому из 1000 человек, мы можем воспользоваться формулой для числа сочетаний без повторений:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где n - число элементов, k - число элементов в комбинации. В нашем случае мы имеем n = 4 (возможные цифры в коде) и необходимо выбрать k цифр. Мы ищем наименьшее k, при котором C(4, k) >= 1000.

Выполнение вычислений даёт:

C(4, 1) = 4, C(4, 2) = 6, C(4, 3) = 4, C(4, 4) = 1

Суммируя числа сочетаний от k = 1 до k = 3, получаем:

C(4, 1) + C(4, 2) + C(4, 3) = 4 + 6 + 4 = 14

Это означает, что мы можем использовать комбинации из одной, двух или трёх цифр, чтобы присвоить уникальные коды каждому из 1000 человек. Наименьшая длина кода будет равна 3.