Question

Установить эквивалентность двух высказываний:1) A V B Λ C;2) (А V В) Λ (А V С).​

Answer 1

(А V В) Λ (А V С)

Для удобства заменим ∧ на · и ∨ на +

(А + В) · (А + С) - умножаем

A·A + A·C + A·B + B·C

A + A·C + A·B + B·C - выносим A за скобку

A · (1 + C + B) + B·C

A · 1 + B·C

A + B·C

Обратная замена

A ∨ B ∧ C

Что эквивалентно высказыванию 1)

Answer 2

Для того, чтобы установить эквивалентность двух высказываний, необходимо показать, что каждое из них истинно в тех же самых условиях, т.е. имеют одинаковую истинностную таблицу.

Истинностная таблица для выражения A V B Λ C :

A	B	C	A V B	(A V B) Λ C	A V B Λ C
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	1	1

Истинностная таблица для выражения (А V В) Λ (А V С):

A	B	C	A V B	A V C	(A V B) Λ (A V C)
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
1	0	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	1	1

Таким образом, мы видим, что обе истинностные таблицы совпадают в каждой строке, следовательно, высказывания эквивалентны. То есть, выражение A V B Λ C эквивалентно выражению (А V В) Λ (А V С).

Answer 3

Для установления эквивалентности двух высказываний необходимо показать, что они дают одинаковые результаты истинности при любых значениях своих компонентов.

Для этого рассмотрим все возможные комбинации значений переменных A, B и C и проверим истинность обоих высказываний в каждом случае:

A	B	C	A V B Λ C	(A V B) Λ (A V C)
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	1	1
1	0	1	1	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Из таблицы видно, что оба высказывания дают одинаковые результаты истинности для всех значений переменных A, B и C, т.е. они эквивалентны друг другу.

Таким образом, мы установили эквивалентность двух высказываний: A V B Λ C и (А V В) Λ (А V С).