Question

Блок масою 5 кг починає скочуватись по похилій площині висотою 10 м з коефіцієнтом тертя 0.3. Знайдіть час за який блок скотиться з рампи. Відповідь округліть до десятих і запишіть тільки числове значення

Answer 1

Відповідь:

Для знаходження часу, за який блок скотиться з рампи, можемо використати рівняння руху похилої площини:

h = (1/2) * g * t^2 + μ * g * t

де h - висота падіння (10 м),

g - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с^2),

t - час падіння,

μ - коефіцієнт тертя (0.3).

Підставляючи відповідні значення, отримуємо:

10 = (1/2) * 9.8 * t^2 + 0.3 * 9.8 * t

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

10 = 4.9t^2 + 2.94t

Природній спосіб вирішення цього рівняння - використання квадратного рівняння. Однак, для простоти округлимо відповідь до десятих:

10 = 5t^2 + 3t

5t^2 + 3t - 10 = 0

Застосовуємо метод розв'язання квадратного рівняння і отримуємо:

t ≈ 1.08

Отже, час, за який блок скотиться з рампи, приблизно дорівнює 1.1 секунди (округлено до десятих).

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо другий закон Ньютона для руху вздовж похилій площині:

\[ F_{\text{заг}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) \]

де: - \( F_{\text{заг}} \) - загальна сила, що діє вздовж похилій площині, - \( m \) - маса блока, - \( g \) - прискорення вільного падіння (приблизно 9.8 м/с²), - \( \theta \) - кут нахилу похилої площини, - \( \mu \) - коефіцієнт тертя між блоком і площиною.

На початку руху сумарна сила тяжіння похилої площини і тертя дорівнює силі, що тягне об'єкт вниз. Коли блок рухається, зростає сила тертя, і коли сумарна сила досягає нуля, блок перестає прискорюватися.

\[ m \cdot g \cdot \sin(\theta) - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\theta) = m \cdot a \]

де \( a \) - прискорення блока. Також, прискорення можна виразити як другу похідну відносно часу від координати \( x \):

\[ a = \frac{d^2x}{dt^2} \]

Розв'яжемо це диференціальне рівняння для \( x(t) \) з початковими умовами \( x(0) = 0 \) (початкова позначка) і \( \frac{dx}{dt}(0) = 0 \) (початкова швидкість).

Інтегруючи двічі, отримаємо вираз для \( x(t) \):

\[ x(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\mu \cdot g \cdot \cos(\theta) + \sin(\theta))}{\mu \cdot g \cdot \cos(\theta) - \sin(\theta)} \cdot g \cdot t^2 \]

Тепер можемо визначити час, за який блок скотиться з рампи. Поставимо \( x(t) = 10 \) м (висота рампи):

\[ 10 = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\mu \cdot g \cdot \cos(\theta) + \sin(\theta))}{\mu \cdot g \cdot \cos(\theta) - \sin(\theta)} \cdot g \cdot t^2 \]

Розв'яжемо це рівняння для \( t \). Округлимо відповідь до десятих.