Question

Астронавты, подлетев на космическом модуле к неизвестной планете, решили измерить среднюю плотность вещества планеты. Для этого они с выключенными двигателями облетели планету на низкой круговой орбите и измерили время одного полного оборота модуля вокруг планеты. Чему равна плотность планеты, если время оборота модуля равно T = 2,5 часа. Планету считать идеальным шаром. Ответ выразить в г/см³.

Answer 1

Задачка сугубо физическая, астрономии тут нет.

Плотность шара (планеты)

p = M/V = M/(4пR^3/3) = 3*M/(4пR^3)

где M - масса планеты, R - ее радиус

Массу M можно определить из уравнения ускорения,

кругового движения:

a = v^2/R

где R - радиус орбиты (для простоты равен радиусу планеты)

а скорость полета

v = 2пR/t

где t - время полного облета планеты (из условия).

то есть

a = 4п^2R/t^2

с другой стороны ускорение свободного падения

a = g*M/R^2

присваиваем эти два ускорения

4п^2R/t^2 = g*M/R^2

откуда

M = 4*п^2*R^3/(gt^2)

подставляем это выражение для массы в первое выражение для плотности:

p = 3*4*п^2*R^3/(gt^2)/(4пR^3) = 3п/(gt^2)

где g = 6.67*10^(-11) - гравитационная постоянная, а t = 2.5*60*60 = 9000 сек.

считаем :

p = 3*3.1415926/(6.67*10^(-11)*9000^2) = 1744 кг/м3 или 1.74 г/см3

Answer 2

Чтобы определить плотность планеты, используем формулу для периода обращения космического модуля на орбите над поверхностью планеты:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M}}$

где: $T$ - период обращения модуля в секундах, $R$ - радиус планеты в см, $G$ - гравитационная постоянная ($6.67430 \times 10^{-8}$ см³/г·с²), $M$ - масса планеты в граммах.

Мы знаем, что $T = 2.5$ часа, но нужно перевести это значение в секунды:

$T = 2.5 \times 3600 \text{ секунд} = 9000 \text{ секунд}$

Теперь, решим уравнение относительно $M$:

$M = \frac{R^3}{G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

Мы также знаем, что объем шара $V$ выражается формулой:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Плотность $\rho$ выражается как отношение массы к объему:

$\rho = \frac{M}{V}$

Теперь выразим $R$ из объема и подставим в уравнение для $M$:

$R = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$

$M = \frac{\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}{G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$

Теперь останется только выразить $\rho$:

$\rho = \frac{M}{V} = \frac{\frac{\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}{G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}{V}$

$\rho = \frac{\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}}{G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{1}{V}$

$\rho = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4\pi G} \frac{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}{V^{\frac{1}{3}}}$

Теперь можем вычислить численное значение:

1. Радиус планеты $R = \left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{\frac{1}{3}}$
2. Масса планеты $M = \frac{R^3}{G} \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2$
3. Плотность планеты $\rho = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4\pi G} \frac{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}{V^{\frac{1}{3}}}$