Question

На доске записали несколько последовательных натуральных чисел, начиная с 5. Одно из чисел стёрли. Оказалось, что среднее арифметическое оставшихся равно 41 / 3. Какое число стёрли?

Answer 1

Ответ:

стёрли натуральное число 2

Answer 2

Пусть стёртое число равно $x$. Среднее арифметическое оставшихся чисел можно выразить следующим образом:

$$\frac{{5 + 6 + 7 + \ldots + (x - 1) + (x + 1) + (x + 2) + \ldots}}{{n - 1}}$$

где $n$ - это количество чисел до стирания числа $x$. Так как числа записаны последовательно и начинаются с 5, то $n$ также равно $x - 5$, так как до числа $x$ идут $x - 5$ натуральных чисел.

Среднее арифметическое равно $\frac{{41}}{3}$, следовательно:

$$\frac{{5 + 6 + 7 + \ldots + (x - 1) + (x + 1) + (x + 2) + \ldots}}{{x - 5}} = \frac{{41}}{3}$$

Заметим, что числа 5, 6, 7, ..., $x - 1$ составляют арифметическую прогрессию. Её сумму можно выразить следующим образом:

$$5 + 6 + 7 + \ldots + (x - 1) = \frac{{5 + (x - 1)}}{2} \cdot (x - 5) = \frac{{x^2 - 5x}}{2}$$

Подставляя это значение обратно в уравнение:

$$\frac{{\frac{{x^2 - 5x}}{2} + (x + 1) + (x + 2) + \ldots}}{{x - 5}} = \frac{{41}}{3}$$

Умножим обе стороны на $x - 5$:

$$\frac{{x^2 - 5x + 3(x + 1) + 3(x + 2) + \ldots}}{{2}} = 41(x - 5)$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\frac{{x^2 - 5x + 3x + 3 + 3x + 6 + \ldots}}{{2}} = 41x - 205$$

$$\frac{{x^2 + x + \text{{сумма оставшихся членов}}}}{{2}} = 41x - 205$$

Так как сумма оставшихся членов является натуральной арифметической прогрессией с начальным членом $x + 1$ и разностью 1, она равна $\frac{{(x + 1 + \text{{последний член}}) \cdot \text{{количество членов}}}}{2}$. Количество членов - это $(x - 5) - 3 + 1 = x - 1$.

Таким образом:

$$\frac{{x^2 + x + \frac{{(x + 1 + (x - 1)) \cdot (x - 1)}}{2}}}{{2}} = 41x - 205$$

$$\frac{{x^2 + x + x \cdot (x - 1)}}{{2}} = 41x - 205$$

$$\frac{{x^2 + x^2 - x}}{2} = 41x - 205$$

$$x^2 - \frac{{x}}{2} = 41x - 205$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$x^2 - 41x + \frac{{x}}{2} - 205 = 0$$

Умножим обе стороны на 2 для избавления от дроби:

$$2x^2 - 82x + x - 410 = 0$$

$$2x^2 - 81x - 410 = 0$$